Цитаты из книги «Математическое мышление»

В своем бестселлере «Гении и аутсайдеры» Малкольм Гладуэлл развивает идею о том, что для достижения высокого уровня мастерства в любой области нужны примерно 10 тысяч часов практики. Гладуэлл описывает достижения знаменитых музыкантов, шахматистов и спортсменов, отмечая при этом один важный момент. Многие считают, что такие люди, как Бетховен, гениальны от рождения. А Гладуэлл показывает, что они долго и упорно трудятся, чтобы добиться серьезных результатов, и обладают мышлением роста, которое помогает им в работе. К сожалению, многие люди, с которыми я беседовала, интерпретируют идею Гладуэлла так, будто ученики могут овладеть математикой на высоком уровне после 10 тысяч часов бездумной практики. Это неверно. Овладение математикой требует работы в истинном математическом смысле. Нам не нужно, чтобы ученики снова и снова отрабатывали один и тот же метод. Это не математика; такой подход не дает знания идей, концепций и взаимосвязей, позволяющего овладеть наукой на высоком уровне. В эти 10 тысяч часов необходимо изучать математику в целом, анализируя ее концепции и связи, решая задачи, делая умозаключения и связывая разные методы воедино.

Во время последнего семинара по профессиональному развитию, который я проводила с учителями из Калифорнии, я рассказала, что в детстве не учила таблицу умножения наизусть. Я отметила, что это никогда не сдерживало меня в жизни, хотя я каждый день занимаюсь математикой. Когда я рассказала об этом перед аудиторией учителей, четыре женщины расплакались. Во время обеда одна из этих учительниц рассказала мне, всхлипывая, что мои слова изменили для нее всё. В детстве у нее были трудности с заучиванием таблицы умножения, и ее отец дал ей понять, что она в каком-то смысле неполноценна. Эта учительница всю свою жизнь считала, что с ней что-то не так. Она рассказала мне, что директор школы присутствовал на ее занятиях и она боялась, что ее «неполноценность» будет обнаружена. Акцент на тестах с ограничением времени и запоминании математических фактов причинил вред очень многим людям

Математик, преодолевающий трудности своего столетия

Во время исследований для онлайн-курса моя студентка Микаэла обнаружила, что пауки — настоящие эксперты по спиралям. Когда паук создает паутину, он сначала плетет фигуру в форме звезды между двумя прочными вертикальными опорами, например ветвями дерева. Затем паук закручивает спираль. Ему нужно построить ее как можно быстрее, чтобы закрепить звезду, поэтому он выбирает логарифмическую спираль. В ней расстояние между следующими друг за другом витками вокруг центра увеличивается в одинаковое количество раз (рис. 3.5

Математика — культурный феномен. Это совокупность идей, связей и соотношений, позволяющая человеку осмыслить мир. По сути, это наука о закономерностях. Если взглянуть на мир сквозь призму математики, можно найти закономерности повсюду. И их понимание, полученное в рамках изучения математики, обеспечивает создание новых, эффективных знаний. Выдающийся математик Кит Девлин посвятил книгу этой теме. В своей работе «Математика: наука о закономерностях» он пишет следующее.

Но истинная математика — дисциплина, которой свойственна неопределенность. Ее суть сводится к исследованиям, гипотезам и интерпретациям, а не однозначным ответам. Присутствовавшие на защите профессора сочли вполне обоснованным то, что Женя не знала ответов на некоторые вопросы, поскольку ее работа вступала в область неизведанного. Женя Сепир блестяще защитила диссертацию

А вот когда мы спрашиваем математиков, в чем суть их предмета, они говорят, что это изучение закономерностей, эстетичная, творческая и красивая дисциплина (Devlin, 1997)

могут ее допустить; поэтому возможность проанализировать ошибку приносит пользу всем.

полезно рассказывать об ошибках и обсуждать их

Когда мы говорим ученикам, что ошибки полезны, они как будто освобождаются от тяжкого груза.