Как видите, второй шаг превращает нечетное число в четное число в результате прибавления единицы. Возьмем произвольное двузначное число, например, 53. Число нечетное – выполняем шаг 2. Получаем 160 – возвращаемся и делаем шаг 1, получаем 80, продолжаем 40, 20, 10, 5. Снова шаг 2 – 16. Шаг 1: 8, 4, 2, 1. Казалось бы, при нечетности числа, умножая его на три, алгоритм будет уводить нас к большим числам, но нет, в конечном итоге приходим к единице. Считается, что по этому алгоритму любое число можно вернуть к «неделимой сущности», то есть, к единице. Ни один специалист по теории чисел пока не смог доказать, что такой алгоритм заканчивается единицей для любого первоначально взятого натурального числа. Второй, не выясненный вопрос, связанный с этим алгоритмом: почему для одних чисел последовательность получаемых значений короткая, а для других слишком длинная. Показанная выше последовательность имеет вид: 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. Всего 12 чисел, включая начальное число и конечную единицу. Возьмем для примера число 25, значительно меньше 53, и выпишем получаемую последовательность чисел: 25, 76, 38, 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. Число меньше, а шагов больше в два раза. Теперь испытаем число 27, недалеко отстоящее от 25: 27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, … . Честно говоря, мне уже надоело, последовательность получается длинная-длинная. В ней встретится даже четырехзначное число больше девяти тысяч. В конечном итоге она придет к единице, но почему так долго, в чем отличие начальных чисел 25 и 27?

Если кто-то заинтересуется исследованием этого алгоритма и захочет поэкспериментировать с ним, то можно видоизменить второй шаг, делая в нем деление полученного четного числа на 2 и только потом возвращение к шагу 1. Это сократит ряд членов последовательности, приводящей к единице. Шаг 2. Если число нечетное, нужно умножить его на 3, затем прибавить 1 и результат поделить на 2. После чего перейти к шагу 3. Можно посмотреть, как изменится алгоритм, если на втором шаге умножать не на 3, а на другое простое нечетное число. Так уже на первых страницах повествования появились интересные и еще не решенные вопросы, которые ждут своих исследователей.

После лирического отступления с интересным алгоритмом вернемся к математическим операциям с натуральными числами. Все перечисленные ранее действия или операции называются бинарными (приставка би от слова два, по числу аргументов арифметической операции), так как в них всегда два исходных компонента: два слагаемых, уменьшаемое и вычитаемое, два сомножителя, делимое и делитель, основание и степень, два сравниваемых между собой числа. Для всех действий, кроме возведения в степень придуманы свои знаки операций, которые ставятся между исходными компонентами:

a+b; a-b; a·b; a:b; a^b; a<b; a>b; a=b.

Возведение в степень, аристократ среди действий с числами, показывается не с помощью специального знака, а особой позиционной записью a^b. Аристократизм этого действия проявляется и в том, что у него, в отличие от сложения и умножения нет переместительного закона. От перестановки слагаемых сумма не меняется, от перестановки сомножителей не меняется произведение, но стоит поменять местами основание и показатель степени, и равенства нет:

2³=8≠3²=9; 5⁴=625≠4⁵=1024.

Правда в этом правиле есть одно исключение: 2⁴=4²=16.

Еще одно отличие действия возведения в степень от сложения и умножения в том, что у сложения и умножения есть ровно по одному обратному действию: для сложение – вычитание, для умножения – деление. Возведение в степень имеет два обратных действия: извлечение корня и вычисление логарифма. У действий, обратных возведению в степень, появляются свои знаки – радикал и логарифм, но о них мы не будем вести речь, так как их выполнимость на множестве натуральных чисел еще сильнее под вопросом, чем деление чисел.

Каждое обратное действие приводило к расширению понятия числа. Вычитание, чтобы быть замкнутой операцией, расширило множество натуральных чисел до чисел целых, которые включают в себя все натуральные числа, к ним еще добавляется ноль, и числа противоположные натуральным – отрицательные числа. Для замкнутости деления чисел пришлось снова расширять множество чисел, уже до чисел рациональных. Наконец, извлечение корня и вычисление логарифмов потребовали введения чисел иррациональных, которые вместе с рациональными числами составили множество действительных или вещественных чисел.

На множестве действительных чисел стали выполняться все перечисленные операции, но…захотелось извлекать корни четной степени из отрицательных чисел, и придумали числа комплексные. Думаете на этом остановились, как бы ни так. Есть еще числа гиперкомплексные. И все это тоже удивительно интересно, но мы не станем «растекаться мыслью по древу» и вернемся к числам натуральным.

Все перечисленные бинарные операции с натуральными числами известны из программы начальной и средней школы, также, надеюсь, как и свойства этих операций.

Работая с натуральными числами, в особенности с многозначными числами, состоящими из нескольких цифр, часто приходится выполнять с ними операции, которые являются унарными (приставка уно от слова один), то есть операции, выполняемые с одним отдельно взятым числом, а не с парой чисел. Например, признак делимости на 3 определяется так: многозначное число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Аналогично, на 9 делятся те числа, сумма цифр которых делится на 9. Оба раза звучит словесный оборот «сумма цифр данного числа», который для каждого числа однозначно определяет некоторое другое натуральное число. Фактически, это действие можно считать функций, заданной на множестве натуральных чисел, а иначе можно назвать унарной операций. Часто работая с этим понятием, для него почему-то не придумали специального знака. Работая далее с натуральными числами, приходится рассматривать сумму квадратов цифр данного числа или сумму кубов цифр числа, количество делителей числа, сумму всех его делителей или сумму собственных делителей (в которые не входит само число), приходится упорядочивать цифры числа по возрастанию или по убыванию и так далее. Все эти операции применяются к отдельно взятому числу, то есть являются унарными операциями. Для обозначения этих операций математики используют разные знаки, например, для обозначения суммы всех делителей натурального числа Леонард Эйлер ставил перед числом знак интеграла, об этом написал Д. Пойа, который сам использовал обозначение «функция сигма от n» [25]. В разных книгах встречаются и другие попытки обозначения подобных операций. Или же для них сохраняются словесные формулировки. Это привело меня к мысли ввести для этих унарных операций специальные, различные, но однотипные, обозначения.

Если рассматривать знаки бинарных операций (кроме возведения в степень и обратных к нему), то знак действия ставится между двумя числами. Для унарной операции это не подойдет, число одно. Не поставишь знак и справа от числа, там будет стоять знак равенства, справа от числа и выше ставится показатель степени, справа и ниже ставится индекс числа. Выход один, навеянный физиками:

Свободна левая сторона числа. Предлагаю ввести новую группу знаков для обозначения унарных математических операций с натуральными числами. Например, ставим знак плюс слева и снизу от числа для обозначения суммы цифр числа, получаем запись:

₊n – сумма цифр данного натурального числа, например, ₊56235=5+6+2+3+5=21.

Далее вводим обозначения других унарных операций по аналогии с первой операцией:

₊²n – сумма квадратов цифр данного натурального числа,

₊²562=5²+6²+2²=25+36+4=65;

₊³n – сумма кубов цифр данного натурального числа,

₊³235=2³+3³+5³=8+27+125=160;

₊^dn – сумма всех делителей данного натурального числа,

₊^d12=1+2+3+4+6+12=28;

₊^sn – сумма собственных делителей данного числа,

₊^s6=1+2+3=6;

_q^dn – количество делителей данного числа, _q^d24=8;

_q^sn – количество собственных делителей числа, _q^s30=7;

_вn – упорядочение цифр данного числа по возрастанию,

_в4723=2347;

_уn – упорядочение цифр данного числа по убыванию,

_у4723=7432;

_хn – произведение цифр данного числа,

_х1953=1·9·5·3=135.

В этом предложении есть свои плюсы. Во-первых, любой введенный математический знак фактически является иероглифом, то есть заменяет целое слово или, как здесь, целую группу слов.

Во-вторых, все эти знаки есть в редакторе формул программы Microsoft Word и, следовательно, никаких проблем с набором текстов на компьютере не создадут.

Время покажет, приживется ли это предложение.

Среди унарных операций, которые можно провести с каждым натуральным числом есть одна, которая первоначально использовалась не в математических целях, а в целях околонаучных, типа гаданий, предсказаний и тому подобного. Операция называется вычисление цифрового корня числа. Цифровой корень натурального числа – это цифра, полученная в результате повторяющегося процесса суммирования цифр сначала данного числа, затем вновь полученного, повторяя процесс до тех пор, пока не будет получена одна цифра. Например, цифровой корень числа 1987652 это 2, потому что 1+9+8+7+6+5+2=38, далее 3+8=11 и, наконец, 1+1=2. Для этой операции встречается и другое название – конечная сумма цифр. В обоих случаях название многословное. Пользуясь сказанным выше, по аналогии, можно ввести обозначение для этой унарной операции: ₍₊₎n – тогда запись примет вид: ₍₊₎1987652=2. Объяснение вводимого знака следующее: + означает суммирование цифр, а круглые скобки показывают, что суммирование неоднократное, как в периодической дроби они показывают период цифры.

Очевидное свойство цифрового корня: n≤9₍₊₎n=n, то есть цифровой корень однозначного числа равен этому числу, а точнее этой цифре. Имеет место следующее утверждение: Сумма цифр числа n имеет такой же остаток при делении на 9, как и число n.

Поскольку, если число больше 9, сумма цифр этого числа меньше самого числа, то справедливы следующие две формулировки:

а). Цифровой корень числа совпадает с остатком от деления исходного числа на 9, если только этот остаток отличен от 0.

б). Для чисел, сравнимых с 0 по модулю 9, цифровой корень равен не 0, а 9.

Цифровые корни часто используют для того, чтобы убедиться, что какое-нибудь очень большое число не является точным квадратом или кубом. Все квадраты имеют цифровые корни 1, 4, 7 или 9, а их последними цифрами могут быть 2, 3, 7 или 8. Кубы могут оканчиваться на любую цифру, но их цифровыми корнями могут быть только 1, 8 или 9.

Определившись с математическими операциями на множестве натуральных чисел, в том числе с операциями унарными, которые в этом множестве часто применяются, перейдем к изучению свойств натуральных чисел. Но прежде хочу поместить изображения вводимых унарных операций так, как они выглядят в редакторе формул, а не в клавиатурном наборе. Клавиатурный набор искажает эти знаки. Последний знак еще не введен, он встретится в дальнейшем изложении. Подчеркну, что введенные обозначения объединены одной идеей, легко запоминаются и допускают продолжение, то есть введение новых обозначений по аналогии при возникновении необходимости.

Вернемся к числам. При рассмотрении натуральных чисел имеют место несколько подходов к изучению их свойств. Рассматривая некое свойство, из множества всех натуральных чисел выделяется подмножество чисел, обладающих данным свойством, и этому подмножеству присваивается характеристический термин в виде прилагательного. Как оказалось, таких прилагательных потребуется много. Иногда в таком подмножестве будет конечное количество чисел, но это редко, чаще всего из бесконечности выделяется другая бесконечность. Мы получаем интереснейшее явление: в бесконечном множестве можно выделить бесконечно много бесконечных подмножеств.

С другой стороны выделенное подмножество можно рассматривать как числовую последовательность, обладающую определенным свойством и говорить не просто о подмножестве, а об упорядоченном подмножестве, в котором можно пронумеровать его члены, то есть превратить подмножество в последовательность.

Еще один подход в рассмотрении натуральных чисел – это извлечь из натурального ряда конкретное число, рассмотреть свойства этого числа, присущие именно ему и поставить вопрос, есть ли другие числа, обладающие подобным свойством. Иначе говоря, дать числу характеристику. Особенно интересен вопрос вариативного представления чисел с помощью математических действий и знаков. Например, 100=(1+2+3+4)²=1³+2³+3³+4³. В таких вариациях с числами своя, математическая красота. Этими процессами мы и займемся далее.

Натуральный ряд чисел напоминает мне клавиатуру фортепиано с чередованием черных и белых клавишей: нечетное, четное, нечетно, четное и так далее. Представьте себе, что каждому числу был бы присущ определенный звук. Если уж на 88 клавишах фортепиано много веков композиторы создают мелодии, исчерпать разнообразие которых кажется невозможно, то какую музыку услышали бы мы, если бы числа звучали! Подумав об этом, решил писать не главы книги, а этюды, вариации и упражнения. Как будто мы учимся играть на фортепиано.