Точкоград

На другой день, вернее, ночь, Карандаш и Чистюлька гуляли в школьном саду и вчерашний день вспоминали. Чистюлька вздохнула печально, а потом улыбнулась.

– Как замечательно всё-таки, что ты ошибся и нечаянно поставил точку.

– Хорошо ещё, что ты её не стёрла, иначе мы бы никогда не познакомились с геометрицей А и её друзьями.

– А ведь точки приглашали нас в страну Геометрию в гости. Вот бы хоть одним глазком посмотреть, как они там живут.

– Да, мне тоже хотелось бы побывать там, но как это сделать?!

– Слушай, Карандаш, мы же волшебные вещи, зна-чит, как-то туда можем попасть.

Вдруг раздался голос:

– Попасть в нашу страну просто, надо только очень сильно захотеть.

Карандаш взволнованно посмотрел на Чистюльку.

– Поняла!? Представь, что мы уже в этой загадоч -ной стране. Только волшебные очки не забудь, а то ничего не увидишь.

Друзья закрыли глаза и сосредоточились на своём желании.

Когда они осмотрелись, то поняли, что находятся в незнакомом месте.

Карандаш взял за руку подругу.

– Смотри, Чистюлька, это город. Какой необычный. А цветов сколько!

Друзья прошли немного вперёд.

Чистюлька посмотрела по сторонам:

– Ты прав, очень красиво! Только жителей не видно.

– Интересно, кто здесь живёт?

Они прошли мимо маленьких аккуратных домиков, утопающих в зелени и вышли к высокому зданию, на котором висела большая вывеска.

Чистюлька тут же захотела её прочесть и потянула друга подойти поближе, но Карандаш остановил её.

– Смотри, к зданию двигаются геометрические фи-гуры.

– Какие?

– Издалека не видно.

Когда они подошли ближе, кто-то окликнул их:

– Карандаш! Чистюлька! Как я рада видеть вас.

К ним спешила геометрица А. Чистюлька тут же подбежала и обняла её.

– Здравствуй, геометрица А! Значит, мы всё-таки попали в страну Геометрию?!

– Попали, попали. Кто хочет, тот всегда добивается желаемого.

Карандаш подошёл ближе к девочкам.

– Приветствую тебя, геометрица А. Как называется этот город?

– Это наш город, Город Точек или Точкоград.

– А куда вы все спешите?

– Мы идём вот в это здание на работу.

– «Дом со-зи-да-ни-я», – по слогам прочитала Чистюлька. – А что вы там созидаете?

– Хотите посмотреть?

Друзья кивнули.

– Тогда идите за мной, и сами всё увидите.

Все наши герои вошли в красивое здание в несколько этажей с разноцветными башнями. Пройдя мимо дверей по широкому коридору, друзья оказались в светлой комнате с множеством столов. Возле каждого из них копошились точки.

Остановившись возле ближайшего стола, Карандаш и Чистюлька внимательно наблюдали за работой двух геометриц. Вот одна из них прыгнула на лист бумаги, расстеленный во весь стол. На листе появилась её маленькая точка. Геометрица прыгнула ещё раз, затем отодвинулась и за работу принялась её подруга. Она прыгнула между двумя изображениями. Затем геометрицы разошлись в разные стороны и стали прыгать навстречу друг другу. Изумленные гости не могли вымолвить ни слова. Геометрицы прыгали всё быстрее и быстрее и напевали весёлую песенку:

«Точка, точка, круг, овал-

Человечка нарисовал». А потом:

«Точка, точка, запятая, минус – рожица кривая

Ручки, ножки, огуречик – вот и вышел человечек».

Друзья подошли ближе и увидели, что на листе бумаги, действительно, появился контур фигуры, напоминающей смешного человечка.

Карандаш остановился возле стола, где геометрица прыгали по очереди и всегда точно одна рядом с другой.

– Интересно наблюдать, как получается прямая линия, – сказал Карандаш Чистюльке и подошёл ближе.

– Здесь создали несколько прямых линий, правда? – обратился он к геометрицам.

Вместо ответа они отодвинулись в сторону, и он действительно увидел прямые линии.

– Эти линии все оживут? – спросил Карандаш у геометрицы А.

– Некоторые оживут и поселятся в Городе Линий, а другие будут находиться в замке Феи до тех пор, пока не понадобятся кому-то.

– А как будет известно, что линии нужны?

– Ты забыл, что у нас не простая страна, а волшеб-ная. Наша Фея наделена особой силой провидения и пред-сказания. Если где-то возникнет необходимость в них, на-ши линии тут же окажутся в нужном месте.

– А для людей линии я рисую, – сказал Карандаш с гордостью.

– Да, без карандаша трудно нарисовать что-то, но в геометрии линии не рисуют, а чертят. Но иногда линии не нужно чертить, можно создать сразу геометрическую фигуру.

– Как это?

– Ты забыл о современных технологиях.

– Точно, есть ведь ещё компьютерная графика. Я пытаюсь рисовать на компьютере.

В это время геометрицы с первого стола подняли свой лист, понесли его к окошку в стене и положили на подоконник. Лист тут же исчез.

– Куда делся лист? – поинтересовалась Чистюлька у геометрицы А.

– Листы отправляются в замок к Фее.

– Как бы хотелось попасть в этот замок и увидеть вашу Фею.

Геометрица А задумчиво посмотрела на друзей и сказала:

– Я узнаю, возможно, ли это, – и вышла.

Через несколько минут она вернулась.

– Сейчас Фея занята, но она обязательно примет вас сегодня. А пока продолжим экскурсию.

Чистюлька подошла к соседнему столу, где геометрицы прыгали на лист бумаги в разных местах. Чистюлька долго стояла около них, потом спросила у геометрицы А:

– Интересно, что может получиться из такого беспорядочного движения?

– Получится множество точек. Разве ты не слышала о множествах?

– Нет, не слышала.

– Вам надо срочно посетить нашу геометрическую школу.

Чистюлька с мольбой посмотрела на Карандаша.

– Вот видишь, подруга, оказывается, везде нужно учиться.

Наконец, Чистюлька обрела дар слова.

– Кого же учат в вашей школе?

– Всех, кто захочет, ведь каждая фигура, линия или точка умеет применять только свои определённые функции, но знать нам нужно и многое другое. Вот для этого и существует наша школа. Хотите попасть туда?

– Хотим, хотим, – закричала Чистюлька за себя и за друга.

Геометрица А провела их в пустую комнату, где было много небольших возвышений. На стене располагался щит с кнопками.

А подошла, нажала на крайнюю слева кнопку. Одно из круглых возвышений начало медленно крутиться. Геометрица указала на него.

– Вставайте сюда.

Они оказались в другом месте: вестибюле* (помещение перед входом во внутренние части здания) просторного высокого здания. Друзья поняли, что это школа.

Геометрица А исчезла, но не успели они испугаться, как она появилась.

– Сейчас я вас провожу в класс, где сегодня изучают множества.

Друзья очень тихо вошли в указанный класс и сели за последнюю парту. Они с интересом смотрели по сторонам. За партами сидели разные геометрические фигуры: и точки, и треугольники, и прямоугольники. Учителем же был человек в чёрной одежде с седой бородой. Он не смотрел на класс. Всё время казалось, что он спит и ничего не видит, но только Чистюлька подняла руку, как он тут же спросил:

– Что интересует наших гостей?

– Нас интересуют множества.

– Треугольник, что ты знаешь о множествах? – спросил учитель.

Треугольник рассказывал громко, чётко и понятно. Наши путешественники узнали много нового и интересного. Например, что под множеством в математике понимают какую-либо совокупность предметов или понятий. В математике множество может состоять из одного, двух или нескольких предметов. Предметы, из которых состоит множество, называются элементами множества. Говорят, что эти элементы принадлежат множеству. Множество, не содержащее никаких элементов, называют пустым.

Чистюлька внимательно выслушала ответ, а потом спросила:

– А множество точек бывает?

Теперь учитель попросил к доске ученицу.

Точка О рассказала, что луч – множество точек прямой, лежащих по одну сторону от данной точки O (включая саму точку O). ²

Объединение открытого луча с его началом – точкой O – называется лучом с началом в O.

OA – обозначение луча с началом O, содержащего точку A.

Лучами также называют бесконечные промежутки (полупрямые) числовой прямой.²

Тут встала точка М и рассказала о графическом изображении множеств с помощью диаграмм. Она вышла к доске и нарисовала три круга: в одном было две точки, в другом – очень много, так много что их трудно было пересчитать, в третьем не было ничего. Друзья догадались, что в последнем круге пустое множество.

Точка N показала на доске пересечение множеств, когда два круга имеют общую часть, где расположены геометрические фигуры, принадлежащее, как множеству А так и множеству В.

– Если вы хотите узнать о множествах подробнее – вам необходимо посетить Город Множественный.

Гости поблагодарили учителя и учеников за новые знания.

Когда друзья вышли из класса, геометрица А ждала их в коридоре.

– Фея приглашает вас в свой замок.

Карандаш и Чистюлька прошли за геометрицей в комнату, где были необычные лифты, один из которых перенёс их в нужное место.

Замок Феи страны Геометрии был в розовых тонах с башенками и окнами, которые, казалось, смотрели на тебя и о чём-то спрашивали. Ворота во двор открыты.

Геометрица ввела друзей в замок, провела в кабинет, где их уже ждала Фея.

Фея Линиана сидела за большим столом и работала на компьютере. Чистюлька шепнула другу:

– Я думала, феи пользуются только волшебством.

Хозяйка посмотрела на друзей, улыбнулась.

– Надо идти в ногу со временем всем, даже феям. Что бы вы хотели узнать у меня, мои милые друзья?

Карандаш несмело начал:

– Мы бы хотели посмотреть, где у вас хранятся работы из Дома созидания.

– Хорошо. – Линиана чуть топнула ногой, и все оказались в комнате, где на полках лежали разные геометрические фигуры.

Приглядевшись, гости поняли, что они лежали в определённом порядке. У одной стены – круги и овалы, у другой – треугольники, справа – звёздочки и т. д. Все фигуры лежали неподвижно, казалось, что они спят.

Чистюлька поинтересовалась:

– Скажите, пожалуйста, за каким фигурами к вам обращаются чаще всего?

– Чаще всего нужны точки, ведь используются они не только в математике, но и в грамматике, хотя имеют разное значение.

Фея вопросительно посмотрела на друзей. Карандаш подумал и сказал:

– Точка – самая элементарная геометрическая фигура, поэтому она и нужна всем.

Чистюлька кивнула в знак согласия.

Линиана уточнила, что точка – это самая малая геометрическая фигура, которая является основой всех прочих построений (фигур) в любом изображении или чертеже.¹

Всякая более сложная геометрическая фигура – это множество точек, которые обладают определенным свойством, характерным только для этой фигуры.

Чистюлька направилась к ещё одной закрытой двери и вопросительно посмотрела на неё, но не решилась спросить, что находится за ней.

– Здорово как у вас всё устроено.

Фея заметила её взгляд и подошла к таинственной двери. Чистюлька подвинулась ближе.

– Сюда нельзя входить, – остановила Чистюльку Фея. – Здесь находятся герои нашей страны, которые ещё не появились в жизни.

– Они все добрые? – спросил Карандаш, беря подругу за руку.

– Все не могут быть добрыми. Есть и злодеи, но без них не было бы трудностей, не было победителей зла. Но наши злодеи никого не убивают. Они питаются ошибками людей, их ленью и неаккуратностью, но мы их перевоспитываем.

Фея вновь топнула ногой, и друзья оказались в большом зале, где находились в непрерывном движении разные геометрические фигуры.

Карандаш и Чистюлька, не отрывая глаз, смотрели на их превращения. Фея сказала:

– Здесь фигуры соединяются, образуя разные новые фигуры. Если такие готовы служить своей родине, я выпускаю их. Они идут жить в любой город нашей страны. Всё, что вы просили, я показала. У вас есть ещё ко мне вопросы?

– Спасибо за всё. Мы многое узнали и поняли. – Карандаш поклонился Фее.

Фея улыбнулась друзьям и сказала:

– Вы сможете в любое время посещать нашу страну. У вас с её жителями установилась тесная связь, – она посмотрела на засмущавшуюся геометрицу А и продолжила: – Стоит вам захотеть – и вы у нас. А пока, до свидания.

Друзья тут же оказались в Городе Точек у домика геометрицы А. Они распрощались с ней, так как подруге нужно было идти на работу, и вернулись домой.

В классе Чистюлька печально посмотрела на друга.

– Я всё думаю над словами Феи. Получается, что всё зло в страну Геометрию приносят люди.

– Геометрические фигуры не бывают ни добрыми, ни злыми. Если люди станут добрыми и отзывчивыми, то всё зло исчезнет во всём мире.

– Да, хорошо бы. Знаешь, Карандаш, у меня есть мечта. Я очень хочу научиться рисовать на компьютере.

Карандаш внимательно посмотрел на подругу.

– Тебе надо внимательно следить за ребятами в классе, когда они работают на ноутбуках.

– Они такие все умные и работают молча, поэтому я ничего не могу понять. Это ты у нас всё схватываешь на лету. Даже сам изучил компьютер.

– Хорошо, я тебе помогу освоить его, если ты будешь стараться. Заниматься придётся много и каждый день.

– Спасибо! Я на всё согласна. Без тебя я была бы незнайкой и неумейкой.

– Не преувеличивай!

Карандаш тут же нарисовал ноутбук для подруги. Подумав, поместил его в комнатке. Чистюлька захлопала в ладоши от радости и признательности к другу за его заботу и внимательность.

– Теперь у меня есть своя комнатка, где я могу жить. Нарисуй что-нибудь для себя тоже.

Карандаш подумал и нарисовал сотовый телефон.

– Это для того чтобы мы могли звонить в любое время геометрице А.

– Где мы будем принимать гостей? Нарисуй госте-вую комнату.

Карандаш быстро исполнил просьбу подруги, потому что сам подумал о том же.