Создание используемой всем человечеством позиционной системы записи чисел, сочетающей индийскую десятичную систему счисления и нумерацию арабскими цифрами, стало одним из величайших фундаментальных достижений в истории человечества. Сначала использовали Восточные арабские цифры, в странах Ближнего Востока их можно встретить, например, на часах, как у нас римские цифры, они приобрели свой близкий к современному вид в IX веке. Наряду с ними существуют Западные арабские цифры и Современные арабские цифры. В период мавританского владычества на Пиренеях арабские цифры проникли в Европу. Более древняя история арабских цифр имеет многочисленные трактовки, сопровождается различными мифами, достоверно можно сказать только то, что своими корнями они уходят в Индию. В контексте истории компьютинга существенен европейский период, когда арабские цифры и десятичная система счисления заняли монопольное положение. Впервые они упоминаются в Вигиланском кодексе, иллюстрированном собрании документов вестготского периода в Испании. Главными действующими лицами, повлиявшими на принятие европейцами новой системы записи были Папа Сильвестр II и виднейший математик Средневековой Европы Леонардо Пизанский более известный как Леонардо Фибоначчи. Путешествуя по Средиземноморью, Фибоначчи изучал достижения античных, индийских и арабских математиков, что позволило ему написать несколько математических трудов, заложив основу западноевропейской науки. Его усилиями позиционная система укрепилась в Европе и обрела популярность в Эпоху Возрождения. Процесс перехода на новую нотацию был непростым, он встречал заметное сопротивление, решающее влияние на укрепление арабских цифр оказало книгопечатание с его требованиями к стандартизации символов.
Археологические исследования в Древнем Египте, Греции, Месопотамии свидетельствуют о том, что первые средства для упрощения расчетов были рукописными, такие методы, известны большинству из нас (сложение и умножение столбиком, деление уголком), они сохранялись до самого последнего времени, до появления электронных калькуляторов, ныне встроенных в любые мобильные устройства. В древности рукописные приемы совершенствовались, они принимали те или иные формы в зависимости от конкретной культуры и принятых в ней традиций.
Сохранились сведения о многочисленных способах умножения, среди них древнейший, он известен как Квадрат Пифагора, есть множество различных «национальных» способов умножения: Китайский, Итальянский, Индийский. Египетский и даже Русско-крестьянский. Особый интерес представляет метод умножения, который назывался gelosia, изобретенный в Индии и в XIV веке пришедший в Европу при посредничестве персов и арабов. Он описан в книге Summa de arithmetica францисканского монаха Лука Пачоли, одного из создателей современной бухгалтерии и близкого друга Леонардо да Винчи. Труд был опубликован в 1494 году, он содержит свод математических знаний эпохи Возрождения, содержащий главы, посвященные практической арифметике, основам алгебры и геометрии, а также бухгалтерского учета. Суть алгоритма гелосия в том, что сомножители записываются справа и сверху от специальной счетной матрицы, состоящей из полей-квадратов, каждый из которых разделен диагональю, а совместно расположенные по диагонали треугольники образуют «косые» строки-столбцы. При суммировании «по косой» получается результат, его нужно читать сверху вниз и слева направо. Этот алгоритм смог механизировать Джон Непер с помощью изобретенных им палочек.
С делением дело обстояло сложнее, специальный знак косая черта «/» впервые использовал в 1600 году английский математик Уильям Отред более всего известный изобретением логарифмической линейки. Альтернативный ему знак двоеточия «:» предложил немецкий математик Лейбниц почти на полвека позже. В Европе примерно до 1600-х годов был популярен метод деления галерой (метод зачеркивания, galley), возникший на основе китайского и индийского методов. Он упоминается у аль-Хорезми в работах 825 года, у Луки Пачоли. О том как он был сложен говорит итальянская поговорка «Трудное дело – деление» (Dura cosa e la partita). Используемый сегодня метод деления уголком имеет множество национальных вариантов, по-английски его называют long division в отличие от short division, который вопреки названию не короче и не проще. Метод известен с XII века, но в практику его ввел английский математик Генри Бриггс в начале XVII века.
Почти одновременно с записями чисел в унарной системе люди стали пользоваться и простейшими инструментами, среди них: счетные палочки (counting sticks или сounting_rods), шнуры с узелками (knots), различного рода бирки (tally) и жетоны (tokens). В результате сложились два направления счета: письменное и инструментальное, они развивались прочти параллельно, изредка пересекаясь. В Европе большее развитие получили письменные методы счета, в Азии – с использованием этих простейших инструментов.
Большинству из нас счетные палочки известны по школьным урокам арифметики в первом классе, они же являются непременной частью известной методики Монтессори и других, хотя, как показывает жизнь, в большинстве случаев для современных детей они совершенно бесполезны. (Не могу удержаться от воспоминания, как, идя в первый класс, я решил самостоятельно сделать набор таких палочек, освободив родителей от необходимости покупать их. Аккуратно выстрогал 20 палочек перочинным ножом, ошкурил, одну половину покрасил зеленкой, а другую марганцовкой и перетянул резинкой. Но на перовом же уроке понял их бесполезность, и без них мог считать, поэтому, выйдя из школы, тут же выбросил, чтобы облегчить портфель.)
Если в Европе палочки не получили заметного распространения, то в Китае и особенно в Японии пользование палочками длиной несколько сантиметров, сделанных из кости или бамбука и раскрашенных в разные цвета, доведено для совершенства.
Палочки раскладывали на столе или на полу, обозначая ими цифры в пятеричной или десятичной позиционной системы счисления. Существовало несколько способов для выкладывания палочками символа какой-то цифры, в диапазоне 1 до 5 просто соответствующее число палочек, а от 6 до 10 их перечеркивали или подчеркивали, положительные и отрицательные числа выкладывали разными цветами, особыми приемами выкладывали дроби. Для нуля специального символа не было. На Востоке счет на палочках превратился в некое специальное знание, он почти на 2000 лет стал основой китайской национальной математической школы. Палочки использовали не только для выполнения всех четырех арифметических действий, но и для нахождения среднего арифметического, для возведения в степень, извлечения квадратного и кубического корня, решения полиноминальных уравнений и других математических приложений.
Обычно в популярной литературе ареал узелкового счета ограничивают Андами, где жили инки и их предшественники, но ученые-специалисты в недавно возникшем историческом направлении, называемом этноматематикой, сделали неожиданные открытия. Усилиями всего нескольких человек удалось открыть не только самобытные математические достижения коренных народов Африки, но и популярные и далеко не простые интеллектуальные игры на узелках. Выяснилось, что до того, как колонизация привела к исчезновению многих компонентов традиционной культуры Африки, исчез и узелковой метод записи, широко использовавшейся в различных районах этого континента. С его помощью вели календарь, фиксировали выплаты и займы, расход воды, продуктов, прибыль от продажи и другое.
Однако уровень развития искусства кипу, так называется мнемоническая и счетная система инков, существенно выше того, чем обнаруженная в Африке. Кипу – это еще и своего рода письменность, в основе которой сложные веревочные сплетения и узелки. Посредством кипу обеспечивали работу почты, фискальной системы и других институтов, образующих государственную систему империи инков. Объем сведений о кипу велик, ограничимся упоминанием только числовых кипу. В них использовалась позиционная система с нумерацией узлами на шнурах. Роль цифры играл узел на соответствующем шнуре, отсутствие узла означает ноль. Сложение и вычитание напоминает действие с арабскими цифрами, но вместо записи завязывается узел. Параллельно с кипу использовалось счетное устройство юпана, подобное одной из версий абака. Археологи обнаружили несколько разновидностей юпаны. Предполагается, что счет в основном выполнялся на юпане, а хранение данных в кипу.
Бирки (tally) делятся на две категории, на простые (single tally) и на разделяемые (split tally). Первые служили для коротких заметок, как средство для передачи условных сигналов между людьми, не владеющими письменностью, и просто для учетных целей. В современных системах радиочастотной идентификации RFID подобного рода бирки называют tally mark. Типичный пример бирки представляют собой дощечки с чувашскими цифрами или кости Ишанго, описанные выше. Разделяемые же бирки служили финансовыми документами, на них наносили зарубки по всей ширине плашки и расщепляли ее по вертикали. Каждая из сторон получала на руки свою аутентичную часть документа. По завершении торговой операции половинки бирки сличались и производился окончательный взаиморасчет.
В Англии порядок использования бирок был утвержден около 1100 года и просуществовал до 1826 года. В Лондоне на том месте, где сейчас стоит часовая башня с колоколом Big Ben, ее ошибочно называют Биг Беном, находился архив таких деревянных документов, никто не знал, что с ним делать, но вопрос решился сам собой – однажды он сгорел. Этот грандиозный пожар запечатлел на своем полотне Уильям Тернер, великий хроникер Промышленной революции.
В современном английском слово token имеет огромное множество значений, в данном контексте интерес представляют только глиняные жетоны (clay token), известные с 8-го тысячелетия до н.э. На сырые глиняные заготовки различной формы и размера наносились необходимые символы и их обжигали. Токены использовали взамен того или иного продукта при расчетах. С появлением счетной доски абака жетонами заменили цифры.
Особое место в истории занимает пальцевый счет, или дактилономия («дактило» – палец и «номос» – закон), возникший за несколько тысяч лет до н.э. Первые свидетельства его существовании обнаруживаются на глиняных табличках, найденных в Месопотамии. Более поздние описания приемов пальцевого счета остались в древнеегипетских, древнегреческих и древнеримских рукописях. За века своего существования этот способ счета заметно эволюционировал, значительный вклад в дактилономию внесли арабские средневековые математики. Приемы дактилономии описаны в упомянутом выше труде Summa de arithmetica францисканского монаха Лука Пачоли.
Данные человеку природой пальцы рук и ног оказались удобным инструментом для абстрагирования от природы считаемых объектов, их количество привело к формированию пятеричной, десятичной и двадцатеричной систем счисления. Десятичная сегодня распространена всемирно, пятеричная существовала в тропической Африке, двадцатеричная в Старом Свете и у многих малых народов. Впервые десятичная система пальцевого счета описана римским поэтом Публием Назоном в конце I века до нашей эры.
Тема пальцевого счета, как и все, что связано с невербальными коммуникациями, чрезвычайно интересна как элемент культуры общения, особенно в контексте кросскультурных различий. Разнообразие национальных систем пальцевого счета велико, они основаны на разных системах счисления, особенно в этом деле преуспели японцы и корейцы, в этих странах такой счет превратился в часть народной культуры. Из близких нам народов остатки древней системы счета обнаруживаются у абхазов, она основана на двадцатеричном счислении, эта традиция находит отражение в специфике преподавания математики в местных школах.
О проекте
О подписке