Цитаты из книги «Математическое мышление»

объяснение называется в математике рассуждением, а рассуждение — обязательное условие математической строгости. Специалисты по естественным наукам доказывают или опровергают теории путем поиска реальных ситуаций, в которых эти теории работают или не работают. Математики доказывают теории в рамках обоснования. Им необходимо привести аргументы, которые убедят других, тщательно выстраивая цепочку рассуждений от одной идеи к другой с помощью логических связей. Математика — сугубо социальная наука, поскольку доказательство возникает только тогда, когда математики могут убедить коллег в наличии логических связей.

Знание математических закономерностей помогает людям покорять океаны, прокладывать маршруты космических полетов, разрабатывать технологии для мобильных телефонов и социальных сетей, а также создавать новые научные и медицинские знания.

Поскольку математика — наука об абстрактных закономерностях, практически не существует аспектов нашей жизни, на которые она не влияет. Ведь абстрактные закономерности определяют суть мышления, коммуникации, вычислений, общества и самой жизни

истинная математика — дисциплина, которой свойственна неопределенность. Ее суть сводится к исследованиям, гипотезам и интерпретациям, а не однозначным ответам.

Мозг может отреагировать на ошибку двумя способами. Ответная реакция первого типа под названием «вызванный ошибкой негативный импульс» (error-related negativity, ERN) — повышенная электрическая активность при конфликте между правильным ответом и неверным. И такая активность возникает независимо от того, знает ли человек об ошибке. Ответная реакция второго типа под названием «вызванный ошибкой позитивный импульс» (positivity error, Pe) — сигнал, отражающий осознанное внимание к ошибкам. Такая реакция имеет место, когда человек знает, что совершил ошибку, и уделяет ей осознанное внимание.

«Каждый раз, когда ученик делает ошибку в математической задаче, у него появляется новый синапс».

Вместо того чтобы хвалить учеников за умственные способности или другое личное качество, лучше сказать так: «Замечательно, что ты этому научился» или «Ты действительно хорошо все продумал».

Похвала доставляет удовольствие. Но когда человека хвалят за его личные качества («Ты такой умный!), а не за то, что он сделал («Отличная работа!»), у него создается впечатление, что его способности неизменны.

Часто родители не видят нужды в строгости, которая составляет суть математики. Многие спрашивали меня: зачем ребенку объяснять свою работу, если он может получить верное решение? Мой ответ неизменен: объяснение называется в математике рассуждением, а рассуждение — обязательное условие математической строгости. Специалисты по естественным наукам доказывают или опровергают теории путем поиска реальных ситуаций, в которых эти теории работают или не работают. Математики доказывают теории в рамках обоснования. Им необходимо привести аргументы, которые убедят других, тщательно выстраивая цепочку рассуждений от одной идеи к другой с помощью логических связей. Математика — сугубо социальная наука, поскольку доказательство возникает только тогда, когда математики могут убедить коллег в наличии логических связей.

Не я одна считаю, что школьная математика не имеет ничего общего с математикой истинной. В 1999 году Рубен Херш написал замечательную книгу под названием «Что же такое математика?» (Hersh, 1999). Он утверждает, что математику представляют на уроках в искаженном виде. Большинство учеников воспринимают ее как совокупность ответов на вопросы, которых никто не ставит. Но Херш отмечает следующее. Речь о вопросах, которые стимулируют развитие математики. Решение задач и постановка новых — основа этой науки. Если математику представить в отрыве от жизни, она действительно покажется мертвой. Научные исследования (Silver, 1994) показали: когда ученикам дают возможность сформулировать математическую задачу, проанализировать ситуацию и придумать вопрос к ней (в этом и состоит суть истинной математики), это повышает их вовлеченность и успеваемость. Но это редкость. Помните, в известном фильме 2001 года «Игры разума» Джон Нэш (которого играет Рассел Кроу) изо всех сил пытается найти интересный вопрос? Это и есть крайне важный первый этап математической работы. На школьных уроках математики у учеников нет возможности выполнить это важное действие; они тратят время на вопросы, которые кажутся им не имеющими отношения к жизни и которых они не ставили.