4. Об аналитическом решении уравнения Шрёдингера в C³

В 4-й главе настоящей монографии будет проанализирован новый подход к решению тех или иных приводящихся к обыкновенным дифференциальных уравнений в частных производных. В качестве примера мы разрешим трёхмерное нестационарное линейное уравнение Шрёдингера, полученное для одной заряженной частицы, заключённой внутри декартовой системы координат (x,y,z). Несомненно, исследуемое сейчас дифференциальное уравнение достаточно легко свести к тождеству:

Беспрекословно, в формулу (4!) вместо символа ∇² возможно подставить сумму дифференциальных операторов ∂²/∂x²+∂²/∂y²+∂²/∂z²; естественно, что знаки ∂_t и ∂_xx эквивалентны надлежащим обозначениям ∂/∂t и ∂²/∂x². Наконец, запишем одномерное линейное нестационарное уравнение Шрёдингера, тогда:

где a=ħ²/ (2M).

4.1 Пример решения уравнения Шрёдингера

Итак, осуществляя поиск общего аналитического решения того или иного нестационарного линейного уравнения Шрёдингера Ψ, разложим в ряд Фурье каждое из следующих выражений:

здесь x∈ [0,R_x]; F (x) – произвольно заданная величина (F (x) ∈C); 0 и R_x – координаты граничных условий Дирихле.

Далее поочерёдно домножим обе части тождества (4) на одно и то же случайное отображение F (x), тогда:

Затем заменим неизвестные соотношения Ψ, U_p (x) F (x) и F (x), имеющиеся в составе формулы (4`), на соответствующие функции A`, B` и C`, следовательно:

Примечательно, что в равенстве (4^*) присутствуют общие экспоненциальные множители e^-2iπ∞x/Rxe^-2iπ∞x/Rx,…,e^2iπmxx/Rxe^2iπnxx/Rx,…,e^2iπ∞x/Rxe^2iπ∞x/Rx, от которых необходимо избавиться, оставив в результате только несокращаемые коэффициенты Фурье H`, H`` и H```. Теперь выполним несколько математических преобразований:

После чего разделим безразмерные переменные в уравнении (4``) относительно комплексного параметра Ψ_p (t, n_x, m_x), тогда:

Напоследок, прибегая к тождеству ограниченности вероятности ∫_-Rx0^Rx0ΨΨ^*dx=1, возьмём определённый интеграл ∫_-Rx0^Rx0ΨΨ^*dx. В рассматриваемом примере подобранные коэффициенты C_p и C_p^* будут зависеть от времени t. Потребуем, чтобы сумма ∑_p|C_p|² оставалась постоянной ∑_p|C_p|²=∑_pC_pC_p^*=1 в том случае, когда все E_p∈R. Бесспорно, область определения действительной части волновой функции Re (Ψ) расположится на отрезке [0,R_x]. Вместе с тем для математической константы R_x возможно задать абсолютно любое положительное значение, удовлетворяющее равенству R_x=2R_x0/O_x. Неудивительно, что в рамках настоящей теории непрерывные выражения Ψ и Ψ^* являются периодическими, а их графики y=Ψ (x) и y=Ψ^* (x) симметричными относительно оси ординат y, следовательно:

Наконец, отталкиваясь от выведенного ранее одномерного нестационарного линейного уравнения Шрёдингера, рассчитаем полную энергию E_p находящегося в состоянии Ψ_p электрона, тогда:

Для трёхмерного базиса (x,y,z) интересующая нас величина E_p составит:

Если в формуле (4^**), полученной для полной энергии E_p, появится произвольная функция F (x) (при U_p (x) ≠const), то найденный параметр E_p по факту окажется неопределённым. Таким образом, опираясь на предложенную в данном параграфе методику, можно констатировать, что абсолютно все выраженные в общем виде соотношения E₁, E_p и другие, похожие на эти, будут зависеть в том числе и от степени вариативности случайных процессов, протекающих в исследуемой физической системе. В стационарных условиях, когда E_p=const, левые и правые части тождеств (4^**) и (4!!) примут фиксированные во времени t значения.

4.2 Кот Шрёдингера. Коллапс волновой функции

Если функции ψ₁ и ψ₂ являются волновыми, то их линейная суперпозиция ψ₃ = c₁ψ₁ + c₂ψ₂ описывает некоторое состояние изолированной от внешнего воздействия квантовой системы. В том случае, когда измерение определённой физической величины f` в состоянии ψ₁ приводит к результату f₁, а в состоянии ψ₂ – к результату f₂, тогда измерение состояния ψ₃ приведёт к результатам f₁ или f₂ с вероятностями |c₁|² и |c₂|² соответственно. Конечно, произвольно заданная комбинация частных аналитических решений того или иного нестационарного линейного уравнения Шрёдингера c₁ψ₁, c₂ψ₂, c_pψ_p и всех оставшихся всегда может быть представлена как сумма эквивалентных им волновых функций ∑_pΨ_p.

Совершенно ясно, что концепция мысленного эксперимента, связанного с котом Шрёдингера, заключается в следующей идее. Сперва в ящик помещаются банка с ядом, молоточный механизм с детектором и изначально живой кот. Естественно, что в ходе ядерной реакции срабатывает детектор, приводящий в движение разбивающий сосуд с ядом молоточный механизм, после чего кот умирает. Согласно квантовой механике, если над ядром не производится наблюдение, то его состояние описывается суперпозицией 2-х состояний: распавшегося и нераспавшегося. Между тем кот, сидящий в ящике, окажется и живым, и мёртвым одновременно. Если же ящик открыть, то экспериментатор сможет обнаружить только какое-нибудь одно конкретное состояние: «ядро распалось, кот мёртв» или «ядро не распалось, кот жив».

Немаловажно отметить, что в квантовой механике коллапс волновой функции Ψ возникает тогда и только тогда, когда обобщённая комплекснозначная величина Ψ (первоначально выраженная в виде суперпозиции нескольких собственных состояний Ψ=∑_pΨ_p) сводится к одному собственному состоянию Ψ_p по причине взаимодействия изучаемой здесь физической системы с внешним миром. В дальнейшем это взаимодействие мы будем называть «наблюдением». Под нормированной суперпозицией ∫_-Rx0^Rx0ΨΨ^*dx=1 понимается приравненная к единице сумма проинтегрированных по dx надлежащих плотностей вероятностей ∑_p∫_-Rx0^Rx0Ψ_pΨ_p^*dx=1, которые допустимо считать взаимно зависимыми. Безусловно, всякая объединённая волновая функция ∑_pΨ_p, несмотря ни на какие обстоятельства, будет продолжать подчиняться тому или иному линейному нестационарному уравнению Шрёдингера, точно так же как и сама величина Ψ_p.

В 1927 году Вернер Гейзенберг использовал идею редукции волновой функции ψ для объяснения квантового измерения искомой нормированной вероятности |c_p|². Однако в этом параграфе будет показано, что коллапс – это фундаментальное физическое явление, которое возможно обосновать математически, опираясь на общее аналитическое решение того или иного нестационарного линейного уравнения Шрёдингера Ψ. Кстати говоря, сами вычисления нужно производить в трёхмерном комплексном пространстве. Тем не менее для упрощения расчётов мы выберем одномерный случай. Пусть F (x) =d (x) +ib (x), следовательно: