2.2 Эмпирический метод

Обычно с изучением школьной программы почему-то не принято ставить под сомнение справедливость основных положений, позволяющих осуществить вывод фундаментальных законов физики. В этом параграфе мы обобщим сведения о том, как соотносятся между собой некоторая физическая величина F и математически несвязанные выражения f₁ (x₁),…,f_{N``</sub> (x<sub>N``}). Отталкиваясь от постулата о наличии корреляций между искомым параметром F и неравномерно распределёнными вдоль соответствующих осей x₁,…,x_{N``</sub> функциями f<sub>1</sub> (x<sub>1</sub>),…,f<sub>N``} (x_{N``</sub>), заданные соотношения f<sub>1</sub> (x<sub>1</sub>),…,f<sub>N``} (x_{N``</sub>) надлежит перемножать друг с другом только в том случае, когда последние окажутся независимыми. Иначе говоря, приращение некоторого заранее известного аналитического решения f<sub>j</sub> (x<sub>j</sub>), составленного для того или иного вырожденного дифференциального уравнения, по факту будет происходить без взаимного влияния одних действительных значений f<sub>j</sub> (min (x<sub>j</sub>)),…,f<sub>j</sub> (max (x<sub>j</sub>)) на другие множители f<sub>1</sub> (x<sub>1</sub>),…,f<sub>o</sub> (x<sub>o</sub>),…,f<sub>N``} (x<sub>N``</sub>) (o≠j). Итак, запишем тождество (2<sup>*</sup>) для нахождения алгебраического произведения П<sub>j=1</sub><sup>N``</sup>f_j (x_j) ^γj. Бесспорно, подобранные коэффициенты γ₁,…,γ_{N``</sub> будут численно равны вещественным константам (+1 или -1), представляющим из себя степени показательных функций f<sub>1</sub> (x<sub>1</sub>) <sup>γ1</sup>,…,f<sub>N``} (x<sub>N``</sub>) <sup>γN``</sup>, тогда:

здесь N`` – общее количество независимых величин f<sub>1</sub> (x<sub>1</sub>),…,f<sub>N``</sub> (x_N``).

Совершенно ясно, что наглядным примером применения эмпирического подхода на практике является закон Кулона, полученный для силы электростатического взаимодействия 2-х заряженных частиц F_e. Таким образом, следующие выражения (f₁ (x₁), f₂ и f₃ (x₃)) могут быть сгруппированы друг с другом как несвязанные между собой параметры: f₁ (x₁) – произведение 2-х взятых по модулю электрических зарядов |q₁||q₂|; f₂ – поправочная постоянная K; f₃ (x₃) – квадрат расстояния (|r₁-r₂|) ² между 2-мя имеющимися в нашем распоряжении материальными частицами, где r₁ и r₂ – соответственно построенные из начала координат (0,0,0) в точки с зарядами q₁ и q₂ радиус-векторы.

Хорошо известно, что сила Кулона F_e прямо пропорциональна искомым множителям f₁ (x₁) и f₂ (γ₁=γ₂=1), но обратно пропорциональна математическому соотношению f₃ (x₃) (γ₃=-1). Наконец, запишем сформулированный для 2-х одно- или разноимённых зарядов q₁ и q₂ закон Кулона, следовательно:

Помимо этого

Если найденные величины g_j (x_j) и g_j` (x_j) окажутся взаимно зависимыми, то справедливым будет равенство:

Кстати говоря, подобранные функции g_j (x_j) и g_j` (x_j) могут задаваться более сложным образом, нежели упомянутые ранее степенные выражения f₁ (x₁) ^γ1, f₂^γ2, f₃ (x₃) ^γ3. Порой с помощью эмпирического метода нельзя описать тот или иной закон природы, тогда для реализации намеченных целей соискатели обычно составляют либо линейные, либо нелинейные дифференциальные уравнения. Разрешить последние иногда бывает затруднительно, поскольку абсолютно все современные персональные компьютеры имеют недостаточно высокую производительность. В подобных случаях исследователи используют суперкомпьютеры. В дальнейшем мы сконцентрируемся на проблеме поиска общего аналитического решения того или иного вырожденного дифференциального уравнения с частными производными.

3. К вопросу о разрешимости дифференциальных уравнений в частных производных

Конечно, опираясь на методику, которая будет рассмотрена в 3-м разделе этого пособия, можно численно решить практически любое приводящееся к обыкновенному дифференциальное уравнение с частными производными и выявить характерные черты эволюции искомой величины Q`` во времени t.

3.1 Интерполяция и ряды Фурье

Представим набор линейных функций F₀, F₁,…,F_{Rx/Δx -1} так:

здесь Δx – геометрический размер каждого из интервалов, в которые заключены заранее известные значения переменных F₀,…,F_k,…,F_{Rx/Δx -1}; k – номер вычислительной операции.

Естественно, что тригонометрический ряд (3^*), полученный для совокупности абсолютно всех рациональных и иррациональных значений F (0,0,0),…,F (R_x, R_y, R_z), неравномерно распределённых на отрезках (kΔx, (k+1) Δx), (jΔy, (j+1) Δy) и (χΔz, (χ+1) Δz), примет следующий вид:

где x∈ [0,R_x]; y∈ [0,R_y]; z∈ [0,R_z]; Θ – индекс, идентифицирующий ту или иную ось координат x_Θ; R_Θ/Δx_Θ∈N.

Далее построим на расположенном ниже графике один из вариантов кусочно-линейной функции F (x), тогда:

Рисунок 3.1 Визуализация кусочно-заданного выражения F (x).

3.2 Общее решение дифференциальных уравнений с частными производными

Обозначим за Q``∈C некоторое аналитическое решение произвольно заданного дифференциального уравнения в частных производных. Отдельно выделим вещественную a<sup>*</sup>=Re (Q``) и мнимую b^*=Im (Q``) части тождества Q``=a^*+ib^*. Для того чтобы численно решить практически любое вырожденное дифференциальное уравнение с частными производными, необходимо и достаточно найти закон изменения функции Q`` во времени t. Немаловажно отметить, что приведённая ниже теория не является единственной в своём роде. Однако в дальнейшем настоящая концепция позволит нам лучше усвоить материал этой книги. Бесспорно, всякое параболическое дифференциальное уравнение в частных производных возможно преобразовать к общему виду. Итого:

Теперь разложим в ряд Фурье искомое решение Q``, тогда:

Затем рассчитаем частные производные ∂Q``/∂x<sub>Λ</sub>, ∂<sup>2</sup>Q``/∂x_Λ²,…, ∂^sdQ``/∂x<sub>Λ</sub><sup>sd</sup>,…,∂<sup>max (sd)</sup> Q``/∂x_Λ^{max (sd)}, имеющиеся в составе равенства (3`), следовательно:

здесь s_d – порядок дифференцирования, а x_Λ – координата.

После чего осуществим интерполяцию непрерывной функции D. Если рассматривается одномерный случай, то каждой точке (пикселю), расположенной на оси D, понадобится поставить в соответствие находящийся на оси x_Θ отрезок (kΔx_Θ, (k+1) Δx_Θ). А значит, в трёхмерном комплексном пространстве справедливым будет соотношение:

где x∈ [0,R_x]; y∈ [0,R_y]; z∈ [0,R_z].

Далее отыщем частную производную ∂Q``/∂t надлежащего решения Q`` по времени t, тогда:

Совершенно ясно, что формулу (3``) удобно записать в следующем виде:

Помимо этого

Как нетрудно догадаться, математические функции Q₀ и Q`` будут тождественно равны друг другу в рамках одной итерации Q<sub>0</sub>=Q``. Напоследок подставим полученные величины Q₁, D и Q`` в уравнение (3^**). В силу чего:

Безоговорочно, с каждой новой итерацией по времени t вместо неизвестного выражения Q`` следует использовать найденную ранее функцию Q₁, тогда:

Несомненно, расчёт нужно выполнять до тех пор, пока не будет достигнуто условие V`Δt=T<sup>*</sup>, здесь T<sup>*</sup> – определяющий границы эволюции искомого отображения Q`` промежуток времени t; V` – общее количество итераций; Δt – шаг по времени t. Неудивительно, что:

3.3 Решение дифференциальных уравнений в R³

В предыдущем параграфе этой книги мы рассмотрели методику, предназначенную для решения тех или иных приводящихся к обыкновенным дифференциальных уравнений с частными производными, заданных в общем виде. Так вот, акцентируясь на вырожденном случае поставленной прежде задачи, необходимо потребовать, чтобы исследуемое в настоящий момент дифференциальное уравнение (3`) было линейным и при этом имело чётные порядки частных производных ∂²Q``/∂x<sub>Λ</sub><sup>2</sup>, ∂<sup>sd</sup>Q``/∂x_Λ^sd и прочих подобных (когда s_d∈A, s_d> 0). Если абсолютно все целочисленные коэффициенты n_x, n_y и n_z примут натуральные значения, то в сложившейся ситуации справедливой окажется простая принадлежность Q``∈R. Таким образом, выведенное нами ранее выражение (3^*) не составит большого труда свести к тождеству:

Теперь преобразуем соотношение (3.1) к более приемлемому для нас виду. Итого:

После чего разложим в ряд Фурье дифференцируемую во всех точках функцию D, тогда:

Формулу (3.4) удобно записать как:

Безусловно, абсолютно любой соответствующий следующей по времени t итерации коэффициент Фурье ∫₀^Rx∫₀^Ry∫₀^Rza^*₁П_Θ=1³sin (πn_Θx_Θ/R_Θ) dzdydx легко можно выразить через определённые интегралы ∫₀^Rx∫₀^Ry∫₀^RzDП_Θ=1³sin (πn_Θx_Θ/R_Θ) dzdydx и ∫₀^Rx∫₀^Ry∫₀^Rza^*П_Θ=1³sin (πn_Θx_Θ/R_Θ) dzdydx, полученные для предыдущей итерации. К слову сказать, всякое нестационарное линейное уравнение Шрёдингера, составленное для постоянной потенциальной энергии U_0p=U_p (x,y,z) =const, является параболическим. В связи с этим частное решение рассматриваемого здесь дифференциального уравнения Q``=Q``_nxnynz допустимо задать в виде тождества (3.6), поскольку в данном случае, как несложно заметить, подобранные величины n_x, n_y и n_z в конечном счёте примут натуральные значения n_x∈N, n_y∈N и n_z∈N. Если в качестве искомой амплитуды вероятности Ψ подставить в равенство (4!) периодическую функцию Ψ_p (t, n_x, n_y, n_z) П_Θ=1³sin (πn_Θx_Θ/R_Θ), то справедливым окажется следующее выражение:

Напоследок найдём частное решение трёхмерного нестационарного линейного уравнения Шрёдингера Ψ_p=Q``_nxnynz (когда U_0p∈R), тогда:

Как известно, общее аналитическое решение Q`` (Q```=Ψ) всякого линейного дифференциального уравнения является суммой всех частных решений Q``_1,1,1,…,Q``<sub>nxnynz</sub>,…,Q``_∞,∞,∞ по n_x, n_y, n_z. В силу чего:

Под обозначением Ψ^* понимается комплексно сопряжённая волновая функция. Плотностью вероятности локализации элементарной частицы в точке с координатами x,y,z называют математическое соотношение ΨΨ^*. В то же время, исходя из тождества ограниченности вероятности ∫_-Rz0^Rz0∫_-Ry0^Ry0∫_-Rx0^Rx0ΨΨ^*dxdydz=1, возможно рассчитать действительный множитель C_p=const (когда R_x0=R_xO_x/2, O_x∈N; R_y0=R_yO_y/2, O_y∈N; R_z0=R_zO_z/2, O_z∈N; O_x-> ∞; O_y-> ∞; O_z-> ∞), следовательно:

где n_x∈N, n_y∈N, n_z∈N – дискретные квантовые числа.

Для того чтобы построить физическую модель некоторого устойчивого химического соединения, отвечающего требованиям компактности, симметрии и периодичности, надо в первую очередь в качестве потенциальной энергии U_p (x,y,z) подставить в формулу (4!) постоянный коэффициент U_0p. Например, прибегая к закону Кулона, записанному для надлежащего параметра U_0p, можно выяснить условия существования неподвижной в пространстве молекулярной структуры. Конечно, атомы абсолютно любого синтезированного на практике вещества будут сохранять свою стабильность до тех пор, пока сумма всех интересующих нас потенциальных энергий, взятая по модулю |∑_o∑ _{j,j> o}U_oj|, не изменит своего значения |∑_o∑_{j,j> o}U_oj|=const. Последнее окажется минимальным |∑_o∑_{j,j> o}U_oj