Цитаты из книг автора «Артур Бенджамин»

Взгляните вот на такую пирамидку уравнений: Какую закономерность вы видите? Подсчитать количество чисел в каждом ряду несложно: 3, 5, 7, 9, 11 и так далее. А дальше неожиданность: первое число каждого ряда — по крайней мере, первых 5 записанных здесь рядов — является квадратом числа. И правда: 1, 4, 9, 16, 25... Почему так получается?

Вот, например, одна хитрость, с которой еще в детстве столкнулся немецкий математик Карл Фридрих Гаусс шли в обрат

e — в главе 10. А в главе 11 разберемся со всем тем, что поможет нам понять магическую природу этой формулы.

Задумайте любое число в промежутке от 20 от 100. Задумали? Сложите между собой составляющие его цифры. Вычтите получившуюся сумму из задуманного вами числа. И снова сложите цифры. Получилось 9? Если нет — перепроверьте свои вычисления. Здорово, правда?

Подсчитывая сумму кубов, мы получаем 1, 9, 36, 100, 225 и т.д. — числа, которые являются полными квадратами. Но это не любые квадраты, а квадраты 1, 3, 6, 10, 15 и т.д. — треугольных чисел! Мы уже знаем, что они по своей сути являются суммами простых чисел, а значит,

и вы легко сделаете вывод, что среднее арифметическое , что и требовалось доказать.

Логика вроде бы подсказывает, что сумма чисел в ряду . Но насколько верным будет этот вывод?

А теперь — специально для тех, кто хотел немного алгебры. Ряду слева, поэтому-то левая и правая части и равны.

То есть сумма чисел справа будет ровно на 25 больше суммы чисел слева. Но это без учета 25, которые стоят в начале. А с ними у нас получается именно тот результат, который обещан нам знаком равенства. Следуя той же логике и призвав на помощь алгебру, мы докажем, что этот ряд можно продолжать бесконечно.

Чуть позже мы еще вернемся к методу подсчета кружков (как и к методу решения задачи двумя разными способами), и вы увидите, к каким интересным результатам он может привести в высшей математике. Но и для понимания основ он не менее полезен. ). Но почему же три пакетика по пять жемчужин — это то же, что и пять пакетиков по три жемчужины? Самый простой способ объяснить этот закон — посчитать кружки в прямоугольнике размером 3 на 5. Считая ряд за рядом, мы видим 3 ряда, в каждом из них 5 кружков, то есть во всем прямоугольнике 3 × 5 кружков. С другой стороны, мы