распределением количества товара по группам качества в момент t вектор M(t) натуральных чисел (M₁, M₂, …, M_p) соответствующий убывающей величине уровня качества товара z₁(t) > z₂(t) > … > z_p(t). Каждое из значений M_i есть количество товара с указанным уровнем качества:

То есть имеется товара в количестве M₁ с уровнем качества z₁(t) (самый качественный товар), товара в количестве M₂ с уровнем качества z₂(t) и т. д., с убыванием значения z. Как следует из определения, M₁ + M₂ + … + M_p равно общему количеству товара, произведенному в текущем такте.

Пусть p ≥ s, тогда примем следующее определение.

Определение 3. Будем говорить, что распределение количества товара по группам качества сегментировано, если для соответствующего ему вектора (M₁, M₂, …, M_p) и вектора распределения совокупного размера сбережений потребителей (N₁, N₂, …, N_s) выполнено условие:

M₁ = N₁, M₂ = N₂, …, M_s = N_s.

Теорема. При фиксированном распределении совокупного размера сбережений потребителей N(t) значение GDP(t) в (5) достигает максимума тогда и только тогда, когда распределение количества товара по группам качества M(t) сегментировано.

Схема доказательства

Для удобства доказательства далее будем представлять сумму (5) как сумму ненулевых слагаемых, упорядоченных по убыванию, где каждое слагаемое соответствует цене IC, которую заплатил отдельный потребитель. Число слагаемых очевидно равно числу потребителей и фиксированно.

Необходимость. Предположим, что M(t) не сегментировано и GDP(t) достигает своего максимального значения. Тогда существует i, 1 ≤ i ≤ s такой, что M₁ = N₁, …, M_i ≠ N_i. Рассмотрим два случая:

M_i < N_i

В данном случае число слагаемых в (5) со значением IC_i меньше, чем для случая сегментированного M(t) (если бы M_i = N_i). В то же время число слагаемых со значениями IC > IC_i такое же, а слагаемых со значениями IC < IC_i больше – при одном и том же общем числе слагаемых. Следовательно, значение (5) в указанном случае меньше, чем в случае сегментированного M(t).

M_i > N_i

В данном случае слагаемые в (5) со значением IC_i не встретятся, вместо этого будет большее число слагаемых с IC < IC_i. При фиксированном числе слагаемых значение (5) меньше, чем в случае сегментированного M(t).

Достаточность. Пусть M(t) сегментировано. В соответствии с алгоритмом покупки товара и в силу сегментированности M(t), в сумме (5) будет N₁ слагаемых с максимальным возможным значением IC₁ (число таких слагаемых уже нельзя увеличить, а можно только уменьшить, уменьшив общую сумму), N₂ слагаемых со значением IC₂ (их число также нельзя увеличить) и т. д. до N_s слагаемых с значением IC_s. Таким образом, получается, что сумма (5) принимает максимально возможное для себя значение.

Результаты работы имитационной модели

Сравнение результатов модели и предметных данных

Для соотнесения результатов имитационной модели и данных по странам проведем нормировку показателей средней компетентности I_i в стране i и ВВП на душу населения D_i для результатов, полученных с помощью имитационной модели и данных из работы (Lynn, Vanhanen, 2002):

На рисунке 2 проиллюстрированы два набора данных после нормировки:

• данные по реальным странам (слева), полученные из (Lynn, Vanhanen, 2002);

• данные имитационной модели (справа), полученные в момент модельного времени t = 25, когда характер зависимости, изображенной на рисунке 2, не меняется в течение более 10 тактов. Ниже, при расчетах параметров модели, рассматриваются данные на этом такте времени.

Визуально на рисунке 2 мы можем отметить наличие роста мат. ожидания и дисперсии D_i при росте значения I_i. Оценим статистически степень влияния фактора I_i на D_i отдельно по данным для стран из (Lynn, Vanhanen, 2002) и отдельно по данным, полученным в имитационной модели.

Для оценки степени влияния I_i на D_i посредством однофакторного дисперсионного анализа проверим наличие статистической зависимости показателя D_i от уровней фактора I_i (групп различных значений) (Кобзарь, 2006). Разобьем значения I_i на три равные непересекающиеся группы (три уровня фактора I_i: «низкий», «средний» и «высокий»), сформируем три выборки значений D_i для соответствующего уровня фактора I_i. Рассчитаем уровень значимости p гипотезы Н₀:

«Все три выборки принадлежат одной генеральной совокупности или разным генеральным совокупностям с равными средними арифметическими» (если гипотеза H₀ неверна, то параметр I_i оказывает существенное влияние на D_i).

Уровень значимости p есть вероятность необоснованно (ошибочно) отвергнуть (считать неверной) гипотезу H0. Проведем расчеты отдельно для данных из работы Линна и для данных, полученных из имитационной модели.

Анализ данных из работы Линна показывает, что вероятность необоснованного отклонения нулевой гипотезы крайне мала: ≈9,44 .10^–9 (см. таблицу 1). Следовательно с большой степенью уверенности (1 – p ≈ 1) можно утверждать, что значения параметра D_i зависят от значений параметра I_i на основе данных, собранных в (Lynn, Vanhanen, 2002).

Таблица 1^[5]

Оценим характер влияния I_i на D_i. На рисунке 3 проиллюстрируем результат обработки данных из (Lynn, Vanhanen, 2002) в виде графика box plot («ящик с усами»). На этом рисунке вдоль оси Ох размещены три уровня фактора I_i: «низкий», «средний» и «высокий» в соответствующем порядке. Для каждого из трех уровней фактора I_i нарисован «ящик с усами» (фигура синего цвета – «ящик», пунктирные вертикальные прямые – «усы»). Горизонтальная линия («талия» у ящика) обозначает медиану выборки значений параметра D_i, соответствующих уровню фактора I_i («низкий», «средний» и «высокий»). Как видно из рисунка 3, уровням фактора I_i соответствуют следующие значения медианы D_i: «низкий» – 0,017, «средний» – 0,065, «высокий» – 0,2. Нижняя и верхняя границы каждого из ящиков иллюстрируют первую и третью квантили q₁ и q₃ для выборки D_i соответственно^[6]. Длина усов каждого из ящиков определяются значениями: нижняя – 9-й процентили, верхняя – 91-й процентили. Данные, выходящие за пределы усов (выбросы), отображаются на графике в виде крестиков.

На основе анализа рисунка 3 можно сделать выводы:

1. С ростом значения I_i растет медиана значений D_i.

2. С ростом значения I_i увеличиваются как значения квантилей q₁, q₃, 9-й и 91-й процентили, так и расстояние между ними, т. е. увеличивается разброс значений D_i.

3. Распределение значений D_i в выборке становится более симметричным относительно своей медианы с ростом I_i.

Приведем результаты аналогичных процедур обработки для данных, полученных в имитационной модели (таблица 2, рисунок 4).

Таблица 2^[7]

Так же, как и в случае данных из (Lynn, Vanhanen, 2002), вероятность необоснованного отклонения гипотезы Н₀ весьма мала, ≈7,59.10^–10 (см. таблицу 2). Следовательно, так же как и в предыдущем случае, с большой степенью уверенности (1 – p ≈ 1) можно утверждать, что значения параметра D_i, полученные с помощью имитационной модели, зависят от значений параметра I_i. Оценим характер этого влияния, используя график box plot для данных имитационной модели (см. рисунок 4).

Как видно из рисунка 4, трем уровням фактора I_i соответствуют следующие значения медианы D_i: «низкий» – 0,03, «средний» – 0,59, «высокий» – 0,73.

На основе рисунка 4 можно сделать вывод: с ростом значения I_i растет медиана значений D_i.

Сравнивая выводы о характере зависимостей в данных (Lynn, Vanhanen, 2002) и данных, полученных из имитационной модели, мы можем отметить, что 1-й вывод для данных из книги (Lynn, Vanhanen, 2002) воспроизводится моделью. Эффекты 2 и 3 в списке выводов для реальных данных не воспроизводятся имитационной моделью. Возможной причиной этого является отсутствие фактического общего рынка, который, в силу конкуренции между странами на рынке товаров, мог бы снизить ВВП некоторых стран с высокими значениями средних компетенций I_i, тем самым способствуя эффектам 2 и 3 в списке эффектов для данных (Lynn, Vanhanen, 2002).

Анализ результатов имитационной модели

Как было показано в предыдущем разделе, ВВП страны тем выше, чем выше средний уровень компетенций работников в данной стране. Используя результат доказанной выше теоремы, построим с помощью имитационной модели зависимость максимально возможного ВВП maxGDP_i от среднего уровня компетенций I_i в странах, а также рассчитаем и построим зависимость процента потерь ВВП rl_i (максимально возможный ВВП при фиксированном распределении доходов минус реализовавшийся ВВП при том же распределении доходов) от среднего уровня компетенций I_i:

Как видно из рисунка 5, зависимость maxGDP_i от среднего уровня компетенций I_i имеет схожий с GDP_i характер, однако процент потерь ВВП rl_i примерно один и тот же для разных значений среднего уровня компетенций I_i в стране (рисунок 6). Следовательно, характер зависимости GDP_i от I_i не определяется потерями от того, что распределение количества товара по группам качества по-разному сегментировано в группах стран с разными значениями среднего уровня компетенций I_i.

На величину выражения (5), помимо степени сегментированности распределения количества товара по группам качества, определенного выше, очевидно влияет распределение доходов потребителей (IC). Сравним распределение доходов потребителей для различных групп значений средних компетенций I_i.

Из рисунка 7 видно, что распределение доходов для стран с высокими значениями I_i доминирует над распределением доходов стран с низкими значениями I_i. Это и предопределяет для этих стран, согласно формуле (5), более высокие значения GDP_i. Значения доходов работников из формулы (4) определяются распределением капитала бизнесменов в данной стране, и оно имеет схожий характер с распределением дохода работников (распределение капитала бизнесменов для стран с высокими значениями I_i определяет распределение капитала стран с низкими значениями I_i). Для выяснения причин, лежащих в основе различия в распределении капитала бизнесменов между группой стран с низкими и высокими значениями I_i, рассмотрим следующий пример расчетов. Внесем одно изменение в алгоритм имитационной модели: изменим правило назначения работников на подзадачи порогового типа. Для каждой страны с фиксированным средним уровнем компетенций I_i заменим минимальный порог каждой пороговой подзадачи θ_j в формуле (7) на величину θ_j + I_i – const. Таким образом, подзадачи всех задач становятся одинаково доступны для индивидов из всех стран (т. е. мы расширяем потенциальное множество задач, доступных для выполнения в каждой стране, сделав его одним и тем же для разных значений I_i). Одновременно мы не изменили вклад в качество товара, определяемого частью открытых подзадач. Приведем зависимость ВВП от значений среднего уровня компетенций в странах I_i (рисунок 8).

Как видно из рисунка 8, положительная связь между ВВП и I_i исчезла. Данный результат стабильно сохраняется на больших значениях тактов модельного времени t. По результатам последнего вычислительного эксперимента в имитационной модели можно сделать вывод, что превосходство стран с высоким I_i над странами с низким I_i определяется тем, что для бизнесменов из первой группы (с высоким I_i) доступно для реализации большее множество задач, в то время как для вторых (с низким I_i), доступно лишь его ограниченное подмножество.

Рис. 8. Зависимость ВВП от среднего уровня компетентности в стране I_i для модифицированного варианта

* * *

Относительный масштаб экономической роли явлений, связанных с выбором задач, может быть достаточно велик, особенно в контексте развития экономики знаний. По существующим оценкам, человеческий капитал составляет в настоящее время примерно Б мирового богатства, а в развитых странах – даже ¾ национального богатства этих стран. Это означает, что диапазон сложности решаемых задач, т. е. разброс редкости компетенций в современном мире очень велик. Следовательно, роль адекватного применения способностей и издержки от его отсутствия становятся особенно существенными. Научно-технический прогресс – результат применения интеллекта и компетенций людей, и в этом плане его осмыслению может способствовать развитие понимания механизмов экономического функционирования интеллекта.

Изучение механизмов реализации человеческих способностей и компетентностей в социально-экономических достижениях позволяет перебрасывать мосты между пониманием человека и пониманием общества в целом. События последних десятилетий свидетельствуют, что экономические изменения зависят от людей, их психологических особенностей. В то же время модели общественных наук почти не рассматривают человека как переменную величину, изменяющуюся от одного исторического момента к другому и от одной страны к другой. Осмысление изменчивости этих переменных в рамках экономических теорий в этом контексте имеет существенное значение.

Признание разнообразия человеческих возможностей должно быть дополнено признанием того, что для реализации этих возможностей в экономических достижениях должны быть созданы соответствующие условия.