3.4.4. Задача Ферма с возрастом 385 лет

В первоначальном варианте в 1636 г. эта задача была сформулирована так:

Найти два квадрато-квадрата, сумма которых равна квадрато-квадрату, или два куба, сумма которых есть куб.

Эта формулировка была использована оппонентами Ферма как факт того, что Ферма не имел доказательства ВТФ и ограничился только этими двумя частными случаями. Однако само название «Великая теорема Ферма» появилось только после публикации «Арифметики» Диофанта с замечаниями Ферма в 1670 г., т.е. через пять лет после его смерти. Поэтому утверждать, что Ферма заявил о ВТФ в 1637 г., нет никаких оснований.

Первый случай для четвёртой степени мы подробно рассмотрели в Приложении II. Что же касается случая для третьей степени, то представленный нами ниже способ доказательства самого Ферма не оставит никаких шансов решениям этой проблемы Эйлера и Вейля остаться частью науки, поскольку с точки зрения простоты и изящества авторского решения проблемы, они станут просто ненужными.

Чтобы доказать, что не существует два куба, сумма которых есть куб, мы применим простейший подход, основанный на делимости чисел, откуда следует, что в исходном уравнении

a³+b³ = c³ (1)

числа a, b и c могут рассматриваться как взаимно простые, т.е. не имеющие общих делителей, однако в общем случае это не обязательно, поскольку если мы докажем, что уравнение (1) не может иметь решений в любых целых числах, в т.ч. имеющих общие множители, то этим мы докажем, что взаимно простые числа тем более не могут быть решениями исходного уравнения. Тогда мы будем исходить из того, что обе стороны уравнения (1) во всех случаях должны делиться на число c², тогда уравнение (1) можно представить как

c³ = c²(x+y) = a³+b³ (2)

В этом случае легко убедиться, что существует только одна возможность получить решения уравнения (1), если числа c, x, y, а также x+y будут кубами, т.е.

с = x+y = p³+q³= z³; x = p³; y = q³ (3)

Тогда уравнение (1) должно иметь вид:

(z³)³=(z³)²(p³+q³) (4)

Таким образом, мы выяснили, что если существуют числа a, b и c, удовлетворяющие уравнению (1), то должны существовать числа p<a, q<b и z<c, удовлетворяющие уравнению (3)

p³+q³= z³

Если теперь мы применим тот же подход к решению этого уравнения, который мы применили к решению уравнения (1), то мы получим такое же уравнение, только с меньшими числами. Однако поскольку невозможно бесконечно уменьшать натуральные числа , то из этого следует, что решений в целых числах уравнения (1) не существует.

На первый взгляд, мы получили очень простое и вполне убедительное доказательство задачи Ферма методом спуска, которую никто не мог получить таким простым способом в течение 385 лет, и этому можно только радоваться. Однако такой вывод был бы слишком поспешным, т.к. это доказательство на самом деле неверно и может быть опровергнуто самым неожиданным образом. Тем не менее, это опровержение настолько удивительно, что мы не будем здесь его раскрывать, потому что оно открывает путь не только для самого простого доказательства ВТФ, но и автоматически позволяет вывести на самое простое доказательство гипотезы Биэла. Обнародование способа опровержения доказательства, данного выше, вызвало бы настоящую сумятицу в учёном мире, поэтому эту тайну мы включим в число наших загадок (см. Приложение V, п. 41).

Итак, мы продемонстрировали здесь решения задач Ферма (только методом спуска!):

1) Доказательство Основной теоремы арифметики.

2) Доказательство теоремы о единственном решении уравнения

p³=q²+2.

3) Способ доказательства Золотой теоремы Ферма.

4) Способ решения уравнении Архимеда-Ферма Ax²+1=y².

5) Способ доказательства невозможности a³+b³= c³.

6) Доказательство грандиозного открытия Ферма о простых

числах типа 4n+1=a²+b², которое мы изложим в другом

стиле (Приложение IV, рассказ Год 1680).

За прошедшие 350 (!!!) лет после публикации этих задач Ферма, всей существующей науке такой результат не мог даже и присниться!

3.5. Метод чётности

Перед тем как приступить к теме «Великая теорема Ферма», отметим, что эта задача не была решена самим Ферма методом спуска, иначе в его формулировке ВТФ не было бы упоминания о «поистине удивительном доказательстве», которое безусловно относилось к другим методам. Поэтому к изложенным выше примерам применения метода спуска мы добавим наше представление о двух неизвестных сегодняшней науке методах, относящихся к доказательству ВТФ от самого Ферма. Наиболее экстравагантный из них – это метод чётности. Отметим также, что само понятие чётности очень часто используется в логических построениях математиков и в этом смысле оно банально. Но в нашем методе оно принимает особую форму числа.

3.5.1. Определение чётности как числа

Из основной теоремы арифметики следует простая, но очень эффективная идея определения чётности как числа, которое формулируется следующим образом:

Чётность данного числа – это количество делений этого числа на два без остатка до тех пор, пока результат деления станет нечётным.

Введем условное обозначение чётности угловыми скобками. Тогда выражение ‹x› = y будет означать: чётность числа икс равна игрек.

Например, выражение «чётность числа сорок равна трём» можно представить как: ‹40› = 3. Из данного определения чётности следует:

– Чётность нечётного числа равна нулю.

– Чётность нуля равна бесконечно большому числу.

– Любое натуральное число «n» можно представить как:

n = 2^w(2N – 1) где N – основание натурального числа,

w – четность.

3.5.2. Закон четности

На основе приведенного выше определения чётности можно констатировать, что равные числа имеют равную чётность. Применительно к какому-либо уравнению это положение относится к его сторонам и безусловно необходимо для того, чтобы оно могло иметь решения в целых числах. Отсюда следует закон чётности для уравнений:

Уравнение может иметь решения в целых числах в том и только в том случае, если чётности обеих его сторон равны.

Математическое выражение закона чётности W_L = W_R, где W_L и W_R – соответственно чётности левой и правой сторон уравнения. Отличительная особенность закона чётности заключается в том, что о равенстве чисел нельзя судить по равенству их чётности, но если их чётности не равны, то это безусловно означает и неравенство чисел.

3.5.3. Правила вычисления четности

Чётность суммы или разности двух чисел a и b

Если ‹a› < ‹b› , то ‹a ± b› = ‹a› Отсюда следует, в частности, что сумма или разность чётного и нечётного числа всегда даёт число с нулевой чётностью.

Если ‹a› = ‹b› = x

то либо ‹a + b› = x + 1, при этом ‹a – b› > x + 1,

либо ‹a – b› = x + 1, при этом ‹a + b› > x + 1.

Эти формулы обусловлены тем, что

‹(a + b) + (a – b)› = ‹2a› = ‹a› + 1

Отсюда следует также, что сумма или разность двух чётных или

двух нечётных чисел дает чётное число.

Чётность суммы или разности двух степеней aⁿ и bⁿ

Если ‹a› < ‹b› , то ‹aⁿ ± bⁿ› = ‹aⁿ›.

Если ‹a› = ‹b› = x, то:

только для чётных n:

‹aⁿ – bⁿ› = ‹a – b›+ ‹a + b›+ x(n – 2) + ‹n› – 1;

‹aⁿ + bⁿ› = xn + 1;

только для нечётных n:

‹aⁿ ± bⁿ› = ‹a ± b› + x(n – 1)

При умножении натуральных чисел их чётности

складываются

‹ab› = ‹a› + ‹b›

При делении натуральных чисел их чётности вычитаются

‹a : b› = ‹a› – ‹b›

При возведении натурального числа в степень его чётность

умножается на степень

‹a^b› = ‹a› × b

При извлечении корня натурального числа его чётность

делится на степень корня

‹^b√a› = ‹a› : b

3.6. Метод ключевой формулы

Для решения уравнений со многими неизвестными в целых числах на практике очень часто применяется подход, когда к исходному уравнению добавляется ещё одно уравнение и решение исходного ищется в системе из двух уравнений. Это второе уравнение мы называем ключевой формулой. До сих пор из-за своей простоты этот метод не выделялся среди других методов, однако мы здесь покажем, насколько он эффективный и явно заслуживает особого внимания. В первую очередь мы отметим важную особенность метода, которая состоит в том, что:

Ключевая формула не может появиться иначе как выведенная из исходного уравнения.

Если эту особенность метода не учитывать, т.е. добавлять к исходному уравнению некоторое другое, то в этом случае вместо решения исходного уравнения мы получим лишь результат, указывающий на совместимость этих двух уравнений. В частности, мы можем получить не все решения исходного уравнения, а только те, которые ограничиваются вторым уравнением. В случае же, когда второе уравнение выведено из исходного, результат будет исчерпывающим, т.е. либо все решения, либо неразрешимость в целых числах исходного уравнения.

Для примера рассмотрим уравнение z³=x²+y². Чтобы найти все его решения, мы будем исходить из того, что обязательным условием (ключевой формулой) должно быть z=a²+b², т.к. правая часть исходного уравнения не может быть получена иначе как произведение чисел, каждое из которых является суммой двух квадратов. Этот вывод основан на том, что произведение чисел, состоящих из суммы двух квадратов, во всех случаях даёт число, также состоящее из суммы двух квадратов. Верно и обратное: если дано составное число, состоящее из суммы двух квадратов, то оно не может иметь простые множители, не состоящие из суммы двух квадратов. В этом легко убедиться из тождества

(a²+b²)(c²+d²)=(ac+bd)²+(ad−bc)²=(ac−bd)²+(ad+bc)²

Тогда из (a²+b²)(a²+b²)=(aa+bb)²+(ab−ba)²=(a²−b²)²+(ab+ba)² следует, что квадрат числа, состоящего из суммы двух квадратов, даёт не два разложения на сумму двух квадратов, (как это должно быть в соответствии с тождеством), а только одно, поскольку (ab−ba)²=0, что не является натуральным числом, иначе любое квадратное число после прибавления к нему нуля можно было бы формально считать суммой двух квадратов. Однако это не так, поскольку существуют квадраты, которые не могут состоять из суммы двух квадратов. Как установил Пьер Ферма, таковыми являются все числа, содержащие хотя бы один простой множитель типа 4n−1. Теперь из a²−b²=c; ab+ba=2ab=d; (a²+b²)²=c²+d² следует итоговое решение:

z³=(a²+b²)³=(a²+b²)(c²+d²)=x²+y²

где a, b любые натуральные числа, а все остальные вычисляются как c=a²−b²; d=2ab; x=ac−bd; y=ad+bc (либо x=ac+bd; y=ad−bc).

Таким образом, мы установили, что исходное уравнение z³=x²+y² имеет бесчисленное множество решений в целых числах, а для конкретных заданных чисел a, b – два решения.

Из этого примера также понятно, почему одна из теорем Ферма утверждает, что:

Простое число типа 4n+1 и его квадрат только один раз раскладываются на сумму двух квадратов, его куб и биквадрат два раза, его пятая и шестая степени три и т.д. до бесконечности.