Разнообразие погоды

ЗАДАЧА

Будем характеризовать погоду только по одному признаку, – покрыто ли небо облаками или нет, т. е. станем различать лишь дни ясные и пасмурные. Как вы думаете, много ли при таком условии возможно недель с различным чередованием погоды?

Казалось бы, немного: пройдет месяца два, и все комбинации ясных и пасмурных дней в неделе будут исчерпаны; тогда неизбежно повторится одна из тех комбинаций, которые уже наблюдались прежде.

Попробуем, однако, точно подсчитать, сколько различных комбинаций возможно при таких условиях. Это – одна из задач, неожиданно приводящих к пятому математическому действию.

Итак: сколькими различными способами могут на одной неделе чередоваться ясные и пасмурные дни?

РЕШЕНИЕ

Первый день недели может быть либо ясный, либо пасмурный; имеем, значит, пока две «комбинации».

В течение двухдневного периода возможны следующие чередования ясных и пасмурных дней:

ясный и ясный

ясный и пасмурный

пасмурный и ясный

пасмурный и пасмурный.

Итого в течение двух дней 2² различного рода чередований. В трехдневный промежуток каждая из четырех комбинаций первых двух дней сочетается с двумя комбинациями третьего дня; всех родов чередований будет

2² · 2 = 2³.

В течение четырех дней число чередований достигнет

2³ · 2 = 2⁴.

За пять дней возможно 2⁵, за шесть дней 2⁶ и, наконец, за неделю 2⁷ = 128 различного рода чередований.

Отсюда следует, что недель с различным порядком следования ясных и пасмурных дней имеется 128. Спустя 128 · 7 = 896 дней непременно должно повториться одно из прежде бывших сочетаний; повторение, конечно, может случиться и раньше, но 896 дней – срок, по истечении которого такое повторение неизбежно. И обратно: может пройти целых два года, даже больше (2 года и 166 дней), в течение которых ни одна неделя по погоде не будет похожа на другую.

Замóк с секретом

ЗАДАЧА

В одном советском учреждении обнаружен был несгораемый шкаф, сохранившийся с дореволюционных лет. Отыскался и ключ к нему, но чтобы им воспользоваться, нужно было знать секрет замка; дверь шкафа открывалась лишь тогда, когда имевшиеся на двери 5 кружков с алфавитом на их ободах (36 букв) устанавливались на определенное слово. Так как никто этого слова не знал, то, чтобы не взламывать шкафа, решено было перепробовать все комбинации букв в кружках. На составление одной комбинации требовалось 3 секунды времени.

Можно ли надеяться, что шкаф будет открыт в течение ближайших 10 рабочих дней?

РЕШЕНИЕ

Подсчитаем, сколько всех буквенных комбинаций надо было перепробовать.

Каждая из 36 букв первого кружка может сопоставляться с каждой из 36 букв второго кружка. Значит, двухбуквенных комбинаций возможно

36 · 36 = 36².

К каждой из этих комбинаций можно присоединить любую из 36 букв третьего кружка. Поэтому трехбуквенных комбинаций возможно

36² · 36 = 36³.

Таким же образом определяем, что четырехбуквенных комбинаций может быть 36⁴, а пятибуквенных 36⁵ или 60 466 176. Чтобы составить эти 60 с лишним миллионов комбинаций, потребовалось бы времени, считая по 3 секунды на каждую,

3 · 60 466 176 = 181 398 528

секунд. Это составляет более 50 000 часов, или почти 6300 восьмичасовых рабочих дней – более 20 лет.

Значит, шансов на то, что шкаф будет открыт в течение ближайших 10 рабочих дней, имеется 10 на 6300, или один из 630. Это очень малая вероятность.

Тремя двойками

Всем, вероятно, известно, как следует написать три цифры, чтобы изобразить ими возможно большее число. Надо взять три девятки и расположить их так:

₉9⁹,

т. е. написать третью «сверхстепень» от 9.

Число это столь чудовищно велико, что никакие сравнения не помогают уяснить себе его грандиозность. Число электронов видимой Вселенной ничтожно по сравнению с ним. В моей «Занимательной арифметике» (гл. десятая) уже говорилось об этом. Возвращаюсь к этой задаче лишь потому, что хочу предложить здесь по ее образцу другую.

Тремя двойками, не употребляя знаков действий, написать возможно большее число.

РЕШЕНИЕ

Под свежим впечатлением трехъярусного расположения девяток вы, вероятно, готовы дать и двойкам такое же расположение:

₂2².

Однако на этот раз ожидаемого эффекта не получается. Написанное число невелико – меньше даже, чем 222. В самом деле: ведь мы написали всего лишь 2⁴, т. е. 16.

Подлинно наибольшее число из трех двоек – не 222 и не 22² (т. е. 484), а

2²² = 4 194 304.

Пример очень поучителен. Он показывает, что в математике опасно поступать по аналогии; она легко может повести к ошибочным заключениям.

Тремя тройками

ЗАДАЧА

Теперь, вероятно, вы осмотрительнее приступите к решению следующей задачи.

Тремя тройками, не употребляя знаков действий, написать возможно большее число.

РЕШЕНИЕ

Трехъярусное расположение и здесь не приводит к ожидаемому эффекту, так как

₃3³, т. е. 3²⁷, меньше чем 3³³.

Последнее расположение и дает ответ на вопрос задачи.

Тремя четверками

ЗАДАЧА

Тремя четверками, не употребляя знаков действий, написать возможно большее число.

4⁴⁴,

РЕШЕНИЕ

Если в данном случае вы поступите по образцу двух предыдущих задач, т. е. дадите ответ

4⁴⁴,

то ошибетесь, потому что на этот раз трехъярусное расположение

как раз дает большее число. В самом деле, 4⁴ = 256, а 4²⁵⁶ больше чем 4⁴⁴.

Тремя одинаковыми цифрами

Попытаемся углубиться в это озадачивающее явление и установить, почему одни цифры порождают числовые исполины при трехъярусном расположении, другие – нет. Рассмотрим общий случай.

Тремя одинаковыми цифрами, не употребляя знаков действий, изобразить возможно большее число.

Обозначим цифру буквой а. Расположению

2²², 3³³, 4⁴⁴

соответствует написание

а^10а+а, т. е. а^11а.

Расположение же трехъярусное представится в общем виде так:

_aa^a.

Определим, при каком значении а последнее расположение изображает большее число, нежели первое. Так как оба выражения представляют степени с равными целыми основаниями, то бóльшая величина отвечает большему показателю. Когда же

а^а > 11а?

Разделим обе части неравенства на а. Получим:

а^а–1 > 11.

Легко видеть, что а^а–1 больше 11 только при условии, что а больше 3, потому что

4^4–1 > 11,

между тем как степени

3² и 2¹

меньше 11.

Теперь понятны те неожиданности, с которыми мы сталкивались при решении предыдущих задач: для двоек и троек надо было брать одно расположение, для четверок и бóльших чисел – другое.

Четырьмя единицами

ЗАДАЧА

Четырьмя единицами, не употребляя никаких знаков математических действий, написать возможно большее число.

РЕШЕНИЕ

Естественно приходящее на ум число – 1111 – не отвечает требованию задачи, так как степень

11¹¹

во много раз больше. Вычислять это число десятикратным умножением на 11 едва ли у кого хватит терпения. Но можно оценить его величину гораздо быстрее с помощью логарифмических таблиц.

Число это превышает 285 миллиардов и, следовательно, больше числа 1111 в 25 с лишним млн раз.

Четырьмя двойками

ЗАДАЧА

Сделаем следующий шаг в развитии задач рассматриваемого рода и поставим наш вопрос для четырех двоек.

При каком расположении четыре двойки изображают наибольшее число?

РЕШЕНИЕ

Возможны 8 комбинаций:

Какое же из этих чисел наибольшее?

Займемся сначала верхним рядом, т. е. числами в двухъярусном расположении.

Первое – 2222, – очевидно, меньше трех прочих.

Чтобы сравнить следующие два —

222² и 22²²,

преобразуем второе из них:

22²² = 22^2-11 = (22²)¹¹ = 484¹¹.

Последнее число больше, нежели 222², так как и основание, и показатель у степени 484¹¹ больше, чем у степени 222².

Сравним теперь 22²² с четвертым числом первой строки – с 2²²². Заменим 22²² бóльшим числом 32²² и покажем, что даже это большее число уступает по величине числу 2²²². В самом деле,

32²² = (2⁵)²² = 2¹¹⁰

– степень меньшая, нежели 2²²².

Итак, наибольшее число верхней строки – 2²²². Теперь нам остается сравнить между собой пять чисел – сейчас полученное и следующие четыре:

Последнее число, равное всего 2¹⁶, сразу выбывает из состязания. Далее, первое число этого ряда, равное 22⁴ и меньшее, чем 32⁴ или 2²⁰, меньше каждого из двух следующих. Подлежат сравнению, следовательно, три числа, каждое из которых есть степень 2. Больше, очевидно, та степень 2, показатель которой больше. Но из трех показателей

222, 484 и 2^{20 + 2} (= 2^{10 · 2} · 2² ≈ 10⁶ · 4)

последний – явно наибольший.

Поэтому наибольшее число, какое можно изобразить четырьмя двойками, таково:

Не обращаясь к услугам логарифмических таблиц, мы можем составить себе приблизительное представление о величине этого числа, пользуясь приближенным равенством

2¹⁰ ≈ 1000.

В самом деле,

Итак, в этом числе – свыше миллиона цифр.

Глава вторая
Язык алгебры

Искусство составлять уравнения

Язык алгебры – уравнения. «Чтобы решить вопрос, относящийся к числам или к отвлеченным отношениям величин, нужно лишь перевести задачу с родного языка на язык алгебраический», – писал великий Ньютон в своем учебнике алгебры, озаглавленном «Всеобщая арифметика». Как именно выполняется такой перевод с родного языка на алгебраический, Ньютон показал на примерах. Вот один из них.

Чтобы определить первоначальный капитал купца, остается только решить последнее уравнение.

Решение уравнений – зачастую дело нетрудное; составление уравнений по данным задачи затрудняет больше. Вы видели сейчас, что искусство составлять уравнения действительно сводится к умению переводить «с родного языка на алгебраический». Но язык алгебры весьма немногословен; поэтому перевести на него удается без труда далеко не каждый оборот родной речи. Переводы попадаются различные по трудности, как убедится читатель из ряда приведенных далее примеров на составление уравнений первой степени.