Урок 3. Алгебра

Суперакция от спичечной фабрики Дремлесдрев:

Каждая пятая спичка в коробке … зажигается!

Основные разделы математики, изучаемые в средней школе – это арифметика, геометрия и алгебра. Считается, что математика, помимо своего прикладного практического значения, развивает логическое мышление. Поэтому первыми в раздел алгебры мы включили несколько задач, в которых не нужно производить какие-либо математические действия, а требуются только логические рассуждения, просчет и перебор комбинаций на несколько шагов вперед.

3-1. Разложите в ряд 8 спичек и, перекладывая одну спичку через две, составьте в четыре хода 4 группы по 2 спички в каждой.

Чтобы стало понятнее, как это нужно сделать, дадим маленькую подсказку, покажем конечный результат. Должно получиться так:

3-2. Десять спичек положите в один ряд. Требуется собрать их попарно, всего в пять пар, перекладывая по одной спичке через две, за наименьшее число ходов.

3-3. Пятнадцать спичек сложены в ряд. Требуется собрать их в пять групп по 3 спички в каждой. Перекладывать спички можно только по одной, каждый раз через 3 спички, Решите задачу за 10 ходов.

3-4. Сосчитайте 22 спички, разложенные так, как показано на рисунке, подряд по часовой стрелке, выбрасывая каждую седьмую спичку. Начать счет нужно с такой спички, чтобы выброшенными оказались все спички кроме той, которая лежит отдельно. Вопрос в том, с какой спички начать счет?

3-5. Семь спичек разложите на столе звездочкой, а ещё 6 спичек возьмите в руку. Начиная от любой спички, отсчитайте по часовой стрелке третью и рядом положите ещё одну спичку. Затем опять, начиная от любой спички, в том же направлении, отсчитайте третью спичку, против которой ещё не лежит дополнительная спичка, и также положите около неё ещё одну спичку. Действуя таким образом, постарайтесь разложить все 6 спичек, которые были у вас в руке. При отсчете спичек не следует пропускать и те, около которых уже положена спичка. Как решить задачу?

3-6. Тринадцать спичек расположены расходящимися лучами, как показано на рисунке, причем 12 из них направлены от центра и только одна – к центру. Требуется снять все спички, кроме той, которая обращена к центру, соблюдая следующее правило: сначала снять одну спичку, а затем, двигаясь по часовой стрелке, снимать каждую тринадцатую спичку. Сообразите, с какой спички нужно начать?

Получается как в детской считалочке из 13 слов, считаем по кругу и спичку, на которую выпадет счет, выводим из игры. Главное – какую убрать первой, дальше элементарно.

В нашем представлении спичка символизирует нечто маленькое. Есть даже выражение «измерять на спичках», означающее какие-то мелкие придирки. Действительно, длина спички чуть больше 4 сантиметров, а вес её, наверное, меньше 1 грамма. Вот если бы Гулливер прихватил с собой спички в страну лилипутов, то для них она выглядела бы в 12 раз больше и представляла бы собой деревянную палку длиной 50 сантиметров. Но оказывается, математика может доказать, что спичка и без страны лилипутов имеет внушительные размеры. Это делается с помощью софизмов – ложных по существу умозаключений, формально кажущихся правильными. Любой софизм основывается на преднамеренном, сознательном нарушении правил логики или математики. Сейчас мы рассмотрим два подобных утверждения.

3-7. Софизм: спичка вдвое длиннее телеграфного столба.

Пусть a – длина спички (в сантиметрах), b – длина столба (тоже в сантиметрах). Обозначим b-a=c, тогда b=a+c. Перемножим эти равенства почленно. Получим b²-ab=ca+c². Вычтем из обеих частей bc. Получим: b²-ab-bc=ca+c²-bc. Вынесем общие множители за скобки: b(b-a-c)=c(-b+a+c), или b(b-a-c)=-c(b-a-c).

Разделим обе части равенства на одно и тоже выражение (b-a-c). Получим b=-c. Но по первоначальному обозначению c=b-a, так что -c=a-b. Таким образом, окончательно получаем b=a-b, a=2b и спичка оказалась вдвое длиннее телеграфного столба! Найдите ошибку в рассуждениях, или может быть всё правильно?

3-8. Софизм: вес спички равен весу слона.

Оказывается спичка не только очень длинная, но и очень тяжелая! Пусть – x вес слона, а – y вес спички. Обозначим сумму весов через 2v, то есть, x+y=2v. Из этого равенства переносом слагаемых в другую часть можно получить ещё два равенства: x-2v=-y, и x=-y+2v.

Перемножим почленно последние два равенства:

x²-2vx=y²-2vy.

Прибавив к обеим частям полученного равенства по v².

Получим x²-2vx+v²=y²-2vy+v² или (x-v)²=(y-v)².

Извлекая квадратный корень из обеих частей последнего равенства, получим: x-v=y-v или x=y, то есть вес слона равен весу спички. Найдите ошибку в рассуждениях.

Следующая группа состоит из задач, которые можно решать логически, а можно составлять уравнения. Это как раз то, чем занимается школьная алгебра: обозначить неизвестные величины, составить и решить уравнения, найти и проверить ответ.

3-9. В коробке лежали спички. Их количество удвоили, а затем убрали 8 спичек. Остаток спичек снова удвоили, а затем снова отняли 8 спичек. Когда эту операцию проделали в третий раз, в коробке не осталось ни одной спички. Сколько их было сначала?

3-10. Спички лежат в двух кучках. Если из первой кучки переложить 2 спички во вторую, то во второй спичек будет в 5 раз больше, чем в первой. Если же из второй кучки переложить в первую 5 спичек, то в первой будет в 3 раза больше, чем во второй. Сколько спичек в каждой кучке?

3-11. Положите на стол три кучки спичек. В одну кучку положите 11 спичек, в другую – 7, в третью – 6. Перекладывая спички из любой кучки в любую другую, нужно сравнять все три кучки, чтобы в каждой было по 8 спичек. Только при перекладывании требуется соблюдать правило: к любой кучке разрешается добавлять ровно столько спичек, сколько в ней есть. Например, если в кучке 6 спичек, то и добавить к ней можно только 6 спичек. Задача решается за три хода!