2. Нормальное распределение

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ – это зависимость вероятности от значения случайной величины. Это вероятность появления разных значений. Это функция р (х), где р – вероятность, х – значение случайной величины. Английское название: DISTRIBUTION.

Вопрос. Что такое РАСПРЕДЕЛЕНИЕ?

Нормальное распределение, или распределение Гаусса, или гауссовское распределение – это хорошо исследованный, известный, стандартный закон распределения случайной величины.

Вопрос. Как ещё называется НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ?

Нормальное распределение появляется при воздействии большого количества независимых случайных факторов. В производстве такими факторами могут быть температура и давление воздуха, состояние работника, качество сырья и материалов, настройка оборудования, состояние и износ инструмента, погрешности измерения, колебания напряжения питания, изменение освещённости и т. д.

В теории вероятностей говорится, что нормальное распределение образуется при сложении бесконечного большого количества независимых случайных величин. В реальной жизни мы всегда имеем ограниченное количество чего угодно. Поэтому реальное распределение не будет в точности идеальным нормальным, но будет очень похоже на него по форме.

Вопрос. В каких случаях образуется нормальное распределение?

Слово НОРМАЛЬНОЕ в данном случае НЕ означает «хорошее» или «правильное». А ещё оно НЕ означает, что всё остальное – «ненормальное, неправильное, нехорошее». Это просто очень специальное название из области математики и статистики, связанное с возведением в квадрат, построением прямого угла и прочими операциями.

Вот одно из объяснений: распределение называется НОРМАЛЬНЫМ, потому что оно образуется само собой при выполнении определённых условий в теории вероятностей. Кроме того, такое название не требует указывать фамилию учёного, который первым открыл этой явление природы (видимо, чтобы никого не обидеть). Один учёный решил назвать распределение таким словом. Потом это название стали использовать другие специалисты. Теперь это общепринятое наназвание.

Вопрос. Что означает слово НОРМАЛЬНОЕ?

3. Отчёт и задание

Переходим к выполнению работы. Параллельно с выполнением работы мы сразу же оформляем отчёт – на каждом шаге, с каждым действием. Тогда не придётся делать двойную работу – сначала всё сделать, а потом вспоминать и описывать.

Требования к оформлению отчёта описаны в работе [1]. Там есть подробное объяснение, как вставить в отчёт зарисовки и рукописные формулы. Отчёт оформляется в электронном виде и записывается в файле Excel в формате *.XLSX.

Задание. Оформите титульный лист и оглавление отчёта.

В таблице 3.1 представлены варианты заданий. Нулевой вариант используется для демонстрации методики работы. Студенты используют варианты с 1 по 10. Номер варианта соответствует последней цифре номера зачётной книжки. Если номер зачётки заканчивается на 0, используйте вариант 10.

Объём выборки равен 30000. Исходные данные округляем до десятых, то есть до одного знака после запятой.

Задание. Укажите в отчёте номер варианта и опишите его.

4. Форма распределения

Вначале рассмотрим форму нормального распределения. Мы будем использовать функцию плотности вероятности р (х). Нормальное распределение в общем виде описывается уравнением (4.1).

В этой формуле использованы следующие обозначения:

х – значение случайной величины;

p – вероятность того, что случайная величина примет значение, равное х;

μ – математическое ожидание – для дальнейшей работы почти то же самое, что и среднее значение;

σ – с.к.о., или среднее квадратичное отклонение, или стандартное отклонение, или сигма – параметр распределения, характеризующий разброс вокруг среднего значения;

π – число «пи», равное 3,14159…;

е – число Эйлера, равное 2,718…

Вопрос. Что такое СКО?

Задание. Напишите формулу для нормального распределения на листе бумаги и вставьте в электронный отчёт.

Зная характеристики распределения, можно приблизительно оценить общий вид графика – симметричный, колоколообразный. Единственная вершина соответствует среднему значению. Правило трёх сигм даёт возможность определить примерные границы значений:

СРЕДНЕЕ ПЛЮС-МИНУС ТРИ СИГМЫ.

За пределами этого диапазона значений почти нет. График спадает до нуля. Подробности можно найти в работе [1]. Пример для нулевого варианта приводится на рис. 4.1.

Задание. Сделайте зарисовку формы распределения для своего варианта задания и вставьте в отчёт. Зарисовка делается СХЕМАТИЧНО. Особая точность и художественный талант в этом задании не требуются.

При вычислениях нам придётся столкнуться с особенностями работы Excel. Эта программа различает минус как ЗНАК ЧИСЛА и минус как операцию ВЫЧИТАНИЯ. На вид это один и тот же символ. Но программа обрабатывает их по-разному. Различается порядок выполнения операций.

Чтобы познакомиться с этой особенностью, введём следующие формулы:

= -2^2

= 2—2^2

= – (2^2)

Результаты опыта приведены на рис. 4.2.

Выясняется, что знак числа обрабатывается до возведения в степень. Поэтому при возведении в квадрат могут понадобиться дополнительные скобки.

Задание. Проведите описанный опыт над минусами.

Вопрос. Как Excel обращается со знаком минус при вычислениях?

Построим график нормального распределения для своего варианта по формуле (4.1). Для этого создадим столбец в несколько десятков чисел в пределах «среднее плюс-минус три сигмы». Для нулевого варианта возьмём числа от 980 до 1020 с шагом 1. Вставим график на той же странице отчёта, где находится зарисовка для нашего варианта (рис. 4.3). Используем «точечный график», в котором задают массив «иксов» и массив «игреков»:

Insert – Charts – Insert Scatter (X, Y) or Bubble Chart – Scatter – Scatter with Straight Lines.

Задание. Постройте график распределения по своему варианту.

Рассмотрим график распределения и отметим его особенности. При анализе (чтении) гистограммы нам придётся следить за тремя свойствами:

1. Форма кривой СИММЕТРИЧНАЯ относительно среднего значения.

2. График по форме напоминает КОЛОКОЛ. Поэтому говорят, его форма колоколообразная.

3. У графика всего ОДНА ВЕРШИНА. Положение этой вершины, или пика, или максимума, соответствует среднему значению. Этот х называется МОДА – значение случайной величины, которое встречается чаще всего. То есть с наибольшей частотой. То есть с максимальной вероятностью.

Любое отклонение от трёх перечисленных свойств нужно рассматривать как сигнал о нежелательных изменениях в производственном процессе.

Вопрос. Какие три свойства нормального распределения учитывают при чтении гистограммы?

Вопрос. Что такое МОДА?

Задание. Рассмотрите свой график. Выполняются ли три указанных свойства?

5. Конструкция и технология

При изготовлении любой детали вначале разрабатывают конструкторско-технологическую документацию. Документацию передают в цех, где другие люди займутся производством продукции. Рабочие по этим документам изготавливают отдельные детали и собирают из них изделие.

Инженер-конструктор продумывает КОНСТРУКЦИЮ и рисует чертёж. На чертеже он указывает НОМИНАЛЬНЫЙ РАЗМЕР – заданное значение размера. Кроме этого, конструктор задаёт ДОПУСК, указывая предельное (максимальное ДОПУСТИМОЕ) отклонение от номинального размера. Поэтому на чертеже можно встретить надпись типа 1000±40. Если не указаны единицы измерения, то скорее всего это миллиметры. Пример чертежа с указанием номинального размера и допуска приводится на рис. 5.1.

Вопрос. Чем занимается инженер-конструктор?

Вопрос. Что такое НОМИНАЛЬНЫЙ РАЗМЕР?

Вопрос. Что такое ДОПУСК?

При выходе за границы допуска деталь будет считаться БРАКОМ. Бракованную деталь придётся переделывать. А если брак исправить невозможно, то выкинуть. Конструктор больше всего заботится о том, чтобы изделие работало и выполняло свою функцию. А соблюдение требований по допускам нужно для того, чтобы изделие было РАБОТОСПОСОБНО.

Вопрос. Что считается браком?

После того как разработана конструкция изделия, за дело берётся инженер-технолог. Он прорабатывает ТЕХНОЛОГИЮ ИЗГОТОВЛЕНИЯ детали. Он решает, какое оборудование использовать. Затем технолог описывает весь процесс изготовления детали – каждое действие и каждый инструмент или станок, которые для этого действия нужно будет использовать. Технолога интересует прежде всего сам технологический процесс изготовления, производства. Технолог может уточнить требования по допускам – чтобы изделие можно было произвести.

Вопрос. Чем занимается инженер-технолог?

Конструктор и технолог должны работают над одним и тем же изделием, и желательно это делать СОВМЕСТНО. Конструктор назначает требования по допускам – для того, чтобы изделие работало, но с учётом того, как можно изготовить конкретную деталь и как эта деталь войдёт в состав собранного изделия. Технолог выбирает способ изготовления и обработки каждой детали – с учётом требований конструктора – и продумывает не только изготовление отдельных частей, но и процесс сборки. Поэтому конструктор должен представлять себе работу технолога, а технолог должен быть знаком с работой конструктора. В этом случае можно будет изготовить и собрать работающее изделие в разумные сроки и за разумные деньги.

Конец ознакомительного фрагмента.