Свойства называются существенными, если без них объект существовать не может, т.е. они ему присущи.

Ярко это можно продемонстрировать на геометрических понятиях. Любой прямоугольник имеет четыре стороны, четыре угла, равные диагонали. Но без третьего свойства он существовать не может: все четыре угла – прямые. А квадрат имеет четыре прямых угла, равные диагонали, четыре стороны. Существенное свойство – все стороны равны.

Следовательно, когда говорят о математическом понятии, то подразумевают множество объектов, называемых одним словом или группой слов (термином). Если говорят о прямоугольниках, то это все те фигуры, у которых все четыре угла прямые, а квадраты – это прямоугольники, у которых все стороны равны.

Считается, что множество всех квадратов составляет объем понятия «квадрат».

Объем понятия – это множество всех объектов, которые обобщаются в понятии и обозначаются одним термином.

Любое понятие имеет содержание.

Содержание понятия – это множество всех существенных свойств объекта, отраженных в этом понятии.

Объем понятия прямоугольник – это множество различных прямоугольников, а в его содержание входят такие свойства прямоугольника:

– «иметь четыре стороны»,

– «иметь четыре прямых угла»,

– «иметь равные противоположные стороны»,

– «иметь равные диагонали».

III. Отношения между понятиями

Между объемом понятия и его содержанием существует взаимосвязь: если увеличивается объем понятия, то уменьшается его содержание, и наоборот, с уменьшением объема понятия – увеличивается его содержание.

Например, объем понятия «квадрат» является частью объема понятия «прямоугольник», а в содержании, понятия «квадрат» содержится больше свойств, чем в содержании понятия «прямоугольник» («все стороны равны», «диагонали взаимно перпендикулярны», «диагонали равны» и другие).

Любое понятие нельзя усвоить, не осознавая его взаимосвязи с другими понятиями. Поэтому важно знать, в каких отношениях могут находиться эти понятия, и уметь устанавливать эти связи.

Понятия обозначают строчными буквами латинского алфавита: а, b, c, d, …, z. Поэтому, если заданы два понятия а и b, то объемы этих понятий обозначают соответственно А и В.

Они могут находится в различных отношениях.

Если А c В (А ≠ В), то говорят, что понятие а – видовое по отношению к понятию b, а понятие b – родовое по отношению к понятию а.

Например: если а – это «прямоугольник», b – это «четырехугольник», то их объемы А и В находятся в отношении включения (А c В и А ≠ В ), т.к. каждый прямоугольник является четырехугольником. Поэтому можно утверждать, что понятие «прямоугольник» – видовое по отношению к понятию «четырехугольник», а понятие «четырехугольник» – родовое по отношению к понятию «прямоугольник».

Если А = В, то говорят, что понятия а и b тождественны.

1) Понятия рода и вида относительны: одно и то же понятие может быть родовым по отношению к одним понятиям и видовым по отношению к другим. Например: понятие «прямоугольник» – родовое по отношению к понятию «квадрат» и видовым по отношению к понятию «четырехугольник».

2) Для понятия прямоугольник существует несколько родовых понятий – «четырехугольник», «параллелограмм», «многоугольник». Среди них можно указать ближайшее – параллелограмм».

3) Видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия. Квадрат являясь видовым понятием по отношению к понятию «прямоугольник», обладает всеми свойствами, присущими прямоугольнику.

Отношения между понятиями, изображая объемы, можно показать с помощью кругов Эйлера.

Например:

а) а – «прямоугольник», b – «ромб»: объемы пересекаются, но ни одно множество не является подмножеством другого, следовательно понятия «прямоугольник» и «ромб» не находятся в отношении рода и вида.

      А             В

б) а – «многоугольник», b – «параллелограмм»: объемы данных понятий находятся в отношении включения, но не совпадают – всякий параллелограмм является многоугольником, но не наоборот. Следовательно, понятие «параллелограмм» – видовое по отношению к понятию «многоугольник», а понятие «многоугольник» – родовое по отношению к понятию «параллелограмм».

А

В

в) а – «прямая», b – «отрезок»: объемы понятий не пересекаются, т.к. ни про один отрезок нельзя сказать, что он является прямой, и ни одна прямая не может быть названа отрезком. Следовательно, данные понятия не находятся в отношении рода и вида (отрезок – часть прямой, т.е. наблюдается отношение целого и части).

А       В

IV. Определение понятий

1. Понятие определения.

Определение понятий – это логическая операция, с помощью которой раскрывается содержание понятия, либо устанавливается значение термина.

2. Виды определений.

По способу выявления содержания понятия различают явные и неявные определения.

К неявным определениям относят остенсивные. Это определения, раскрывающие существенные свойства (признаки) предметов путем указания, показа, демонстрации объектов, которые этими терминами обозначают.

Например, при ознакомлении с алгебраическими понятиями пользуются остенсивными определениями так:

4 · 7 < 4 · 9       8 · 7 = 56

23 + 8 > 30      9 · 6 = 6 · 9

93 – 8 < 93 – 6      46 + 7 = 62 – 9

Это неравенства.      Это равенства.

Наиболее часто применяются остенсивные определения при изучении геометрических понятий.

Остенсивные определения характеризуются незавершенностью. Поэтому впоследствии требуется подробное изучение этих понятий.

Также применяют описание или сравнение объектов.

К неявным определениям относят и контекстуальные – через отрывок текста, через контекст, через анализ конкретной ситуации, описывающей смысл понятия.

Через текст устанавливается связь определяемого понятия с другими, уже известными понятиями, раскрывая его содержание.

Например, при изучении понятия уравнения (2 класс):

– 5 = 4

Из какого числа нужно вычесть 5, чтобы получилось 4?

Обозначим неизвестное число латинской буквой х:

х – 5 = 4 – это уравнение.

Решить уравнение – это значит найти неизвестное число. В данном уравнении неизвестное число равно 9, так как 9 – 5 = 4.

Объясни, почему числа 0, 10, 8 не подходят.

3. Определение через род и видовое отличие.

Среди явных определений в математике чаще всего используются определения через род и видовое отличие.

Например: «Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые».

В этом определении есть две части – определяемое понятие (прямоугольник) и определяющее понятие (четырехугольник, у которого все углы прямые). Если обозначить через а первое понятие, а через b – второе, то данное определение можно представить в таком виде:

а есть (по определению) b или а <=> b

опр.

Читают запись так: «а равносильно b по определению» или «а тогда и только тогда, когда b».

В определении прямоугольника можно выделить в определяющем понятии:

а) понятие «четырехугольник», которое является родовым по отношению к понятию «прямоугольник»;

б) свойство «иметь все углы прямые», которое позволяет выделить из всевозможных четырехугольников один вид – прямоугольники; поэтому его называют видовым отличием.

Видовое отличие – это свойство (одно или несколько), которые позволяют выделять определяемые объекты из объема родового понятия.

Это можно показать на схеме:

Определяемое понятие <=> Родовое понятие + Видовое отличие

Определяющее понятие

Схему можно заменить формулой: а <=> с + Р

опр.      b

Формулируя определения понятий через род и видовое отличие, применяют следующие правила:

1) определение должно быть соразмерным;

2) в определении не должно быть порочного круга;

3) определение должно быть ясным;

4) одно и то же понятие определить через род и видовое отличие, соблюдая правила можно по-разному.

Натуральные числа и 0.

Методика изучения нумерации натуральных чисел и 0 в начальном курсе математики

План:

1. Из истории возникновения и развития понятий натурального числа.

2. Отрезок натурального ряда. Счет элементов конечного множества.

3. Теоретико-множественный смысл натурального числа и нуля.

1. Из истории возникновения и развития понятий натурального числа и нуля

В начальной школе большое внимание уделяется изучению нумерации целых неотрицательных чисел, а также действий над ними. Это является одной из центральных тем курса начальной математики, так как всю жизнь человек пользуется различного рода вычислениями, счетом предметов и т.д. Следовательно, учитель должен хорошо представлять себе, с какой системой счисления он работает, каковы ее особенности и как она появилась.

В школьном учебнике математики программы «Перспектива» 2 класс, 2 часть под редакцией Л.Г. Петерсон для учащихся начальных классов кратко, но емко изложена эта история.

Еще в самые отдаленные времена людям понадобились арифметические знания, чтобы определять, когда надо засевать поля, начинать полив, когда ждать потомства от животных. Надо было знать; сколько овец в стаде, сколько мешков зерна положено в амбары. Однако первобытные люди не умели считать. И вот много тысяч лет тому назад древние пастухи стали делать из глины кружки – по одному на каждую овцу. Чтобы узнать, не пропала ли за день хоть одна овца, пастух откладывал в сторону по одному кружку каждый раз, когда очередное животное проходило в загон. И только убедившись, что овец вернулось столько же, сколько было кружков, он спокойно шел спать.

Но в стаде у первобытных людей были не только овцы – они пасли и коров, и коз, и ослов. Поэтому пришлось делать из глины и другие фигурки. А земледельцы с помощью глиняных фигурок, камушков, зарубок вели учет собранного урожая. Они отмечали, сколько мешков зерна положено в амбар, сколько кувшинов масла выжато из оливок, сколько соткано кусков льняного полотна. Складывая и вычитая множества предметов, они решали простейшие задачи на сложение и вычитание. Так, еще не умея считать, древние люди занимались арифметикой. Перекладывать камушки и глиняные фигурки с места на место было довольно утомительным занятием. Но прошло много тысячелетий, прежде чем люди научились пересчитывать предметы. Для этого им пришлось придумывать названия для чисел.

О том, как появились имена у чисел, ученые узнают, изучая языки различных племен и народов. Например, оказалось, что «у нивхов, живущих на Сахалине, числительные зависят от того, какие предметы считают. Важную роль играет форма предмета, так что по-нивсхи в сочетаниях «два яйца», «два камня», «два глаза» и так далее числительные различны. Одному и тому же русскому слову «два» у них соответствует несколько десятков различных слов. Нечто подобное было и древних людей. И должно было много столетий, а может быть и тысячелетий, прежде чем одни и те же числительные стали применять к предметам любого вида. Вот тогда и появились общие названия для чисел. Сначала названия получили только числа 1 и 2. Название для числа «один» связывалось обычно со словом «солнце», а название для числа «два» – с предметами, встречающимися попарно: крыльями, ушами и так далее. Но бывало, что числам 1 и 2 давали иные имена. Иногда их связывали с местоимениями «я» и «ты». А были языки, где «один» звучало так же как «мужчина», а «два» – как «женщина». У некоторых племен еще совсем недавно не было других числительных, кроме «один» и «два». А все, что шло после двух, называлось «много» Но потом понадобилось называть и другие числа. Ведь и собак у охотника, и стрел у него, и овец у пастуха может быть больше, чем две. И тут придумали замечательный выход: числа стали называть, повторяя несколько раз названия для единиц и двоек».