Цитаты из книги «Удовольствие от X. Увлекательное путешествие в мир математики от одного из лучших преподавателей в мире»

Варден, дер. В. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. М. : Наука, 1959; Выгодский М. Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. М. : Наука, 1967; Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М.: КомКнига, 2007; История математики. В 3-х томах / Под ред. А. П. Юшкевича. М. : Наука, 1970–1972. Том I. С древнейших времен до начала Нового времени (1970).

дробью 1/2, что означает «1 из 2 равных частей». (Косая черта между 1 и 2 визуально напоминает, что что-то разрезали.)

Если я захочу взять у вас 6 булочек, а у вас их только 2, то в реальности у меня ничего не получится. Зато в уме я навешу на вас 4 отрицательные булочки, что бы это ни значило.

Слово «вычислять» (англ. calculate) отражает это наследие и происходит от латинского calculus, означающего «галька», которую римляне использовали при выполнении вычислений.

Насколько бурно человек реагирует в подобной ситуации, зависит от его нервной системы. Но вернемся снова в класс мисс Стэнтон. И все-таки, почему же мы считали десятичными только периодические десятичные дроби? Легко составить подходящий пример. Вот он: 0,12122122212222... Последовательность подобрана так, чтобы ряд двоек в каждом периоде по мере продвижения вправо был длиннее. Такую дробь невозможно преобразовать в обыкновенную, то есть в отношение двух целых чисел. Можно доказать, что обыкновенные дроби всегда преобразуются в конечные или периодические десятичные дроби. А так как эта десятичная дробь не является ни периодической, ни конечной, то она не может быть равна отношению некоторых целых чисел. Поэтому данное число иррационально.

Еще на заре появления квантовой механики13 Вернер Гейзенберг и Поль Дирак обнаружили, что в природе p × q ≠ q × p, где p и q — импульс и координата квантовой частицы. Без этого нарушения коммутативного закона не было бы принципа неопределенности Гейзенберга, атомы бы взорвались и ничего не существовало бы. Вот почему вам лучше позаботиться о своих p и q. И наказать делать это своим детям.

Но это же просто коммутативный закон в действии. Чтобы это понять, необходимо думать в стиле последовательного умножения, а не последовательного сложения. 8% налога и последующая за ним 20%-ная скидка вычисляются путем умножения цены на этикетке на 1,08 и последовательным умножением полученного результата на 0,80. Изменение порядка вычисления налога или скидки просто меняет местами сомножители, но, поскольку выполняется равенство 1,08 × 0,80 = 0,80 × 1,08, окончательная цена получается одинаковой10.

скопировать треугольник из камешков, перевернуть его и соединить с уже существующим, то получится нечто весьма простое: прямоугольник с десятью рядами по 11 камешков в каждом, причем общее число камней составит 110.

Это такой же творческий процесс, как и тот, когда мы только придумывали числа. Так же как числа упрощают подсчет по сравнению с перечислением по одному, сложение упрощает вычисление любой суммы. При этом тот, кто производит подсчет, развивается как математик. По-научному эту мысль можно сформулировать так: использование правильных абстракций

Еще один нюанс заключается в том, что числа (как и все математические идеи) живут своей жизнью1. Они нам неподвластны, хотя и присутствуют в наших умах. Даже определив, что мы под ними понимаем, мы не можем предсказать, как они себя поведут. Они подчиняются определенным законам и имеют определенные свойства, индивидуальные особенности и способы объединения друг с другом, и мы ничего не в силах с этим поделать, кроме как наблюдать и пытаться понять