k – показатель адиабаты для воздуха,

σ – относительное давление, величина, характеризующая отношение давления в полостях истечения и наполнения.

R – универсальная газовая постоянная (287 Дж/(кг*К)),

Т – температура воздуха в магистрали, К.

Расход воздуха при надкритическом режиме истечения воздуха (режим, при котором отношение давления в полости наполнения к давлению в ресивере менее 0,5288).

(10)

Для определения эффективной площади можно использовать данные, приведенные в монографии проф. Е. В. Герц «Расчет пневматических приводов», М.: Изд-во «Машиностроение», 1975 г.

Эффективная площадь проходного сечения определяется по следующей формуле:

(11)

где:

f – площадь трубопровода, м²

µ – коэффициент расхода трубопровода.

Коэффициент расхода определяется опытным путем и зависит от величины ξ.

(12)

где:

λ_пр – приведенная длина (для пластиковых трубопроводов 0,01).

l _тр – длина трубопровода, м

d_т – диаметр трубопровода, м.

Давление истечения определяется по следующей схеме, рис. 4.

На основе схемы определяются расходно-перепадные характеристики диафрагмы при различных режимах истечения воздуха.

Плотность газа

Плотность – отношение массы тела к занимаемому им объему.

(13)

Плотность воздуха зависит от температуры и давления. При нормальном (атмосферном) давлении Р= 101325 Па

Заменив отношение массы к объему на плотность в формуле (1), получим уравнение, связывающее плотность с давлением и температурой газа.

(14)

Величина, обратная плотности, называется удельным объемом

(15)

Иногда также пользуются удельным весом γ, под которым понимают отношение веса тела G к занимаемому им объему V.

(16)

(17)

Вязкость газа

Вязкость жидкости и газа характеризует силы внутреннего трения при движении потока воздуха или жидкости и оценивается коэффициентами динамической и кинематической вязкости.

Динамическая вязкость – характеризует внутреннее трение в жидкости или газе.

Если перемещать пластинку площадью S в вязкой жидкости, то на нее будет действовать сила внутреннего трения (рис. 6):

Динамическая вязкость воды при температуре 20⁰С равна 1МПа с, вязкость воздуха равна 0,01821 МПа.

Вязкость жидкостей резко падает при повышении температуры, а вязкость воздуха и газов возрастает.

Кинематической вязкостью жидкости или газа называется соотношение динамической вязкости к плотности.

(19)

В качестве единицы кинематической вязкости применялся также стокс (ст) и сантистокс (сст) по соотношению:

Для измерения вязкости жидкости используют вискозиметры, например вискозиметр Энглера, который представляет собой цилиндрический сосуд, имеющий диаметр 106 мм (рис. 7). В днище сосуда выполнено отверстие диаметром 2,8 мм. Вязкость в градусах Энглера равна отношению

времени истечения 200 см³ исследуемой жидкости к времени истечения такого же количества дистиллированной воды при температуре 20⁰С.

Для пересчета “градусов Энглера” в “Стоксы” для минеральных масел применяют формулу Убеллоде:

(20)

Вязкость масел, применяемых в гидросистемах, лежит в пределах 10–30 ⁰ Е.

Вязкость масла следует учитывать при расчетах скорости пневмопривода, поскольку уплотнения штока и поршня перемещаются по смазанным поверхностям и возникают существенные усилия вязкостного трения, снижающие скорость их движения.

В следящих приводах вязкостное трение играет роль демпфера, снижающего опасность возникновения автоколебаний.

Сжимаемость газа

Сжимаемость – свойство рабочего тела изменять свой объем под действием приложенного давления.

Коэффициент объемного сжатия β равен:

(21)

Несмотря на то, что молекулы жидкости подвижны, заметно сжать жидкость можно только приложив к ней очень большое давление.

Для практических целей можно считать жидкости несжимаемыми.

Термодинамические процессы при постоянном объеме газа

Сжимаемость газов гораздо выше и зависит от давления, температуры и объема, занимаемых ими. Бойлем в 1662 г. в Англии и независимо от него в 1676 г. Мариоттом во Франции было установлено, что если газ занимал некоторый начальный объем V_о и имел давление Р_о, то после сжатия его до объема V₁ давление его, при условии, что температура газа не изменяется

(изотермический процесс) повысится до величины P₁, такой, что произведение начального объема и давления будет равно произведению конечного объема и давления:

(22)

или

(23)

Важным следствием этого закона является то, что поскольку масса газа не меняется, при подстановке значений объемов из формулы (5), получим, что отношение давлений равно отношению плотностей газа:

(24)

Изменение объема может происходить также и при изменении температуры Т тела, что учитывается коэффициентом объемного расширения

(25)

Большинство твердых тел, жидкостей и все газы увеличиваются в объеме при нагревании. Опыты Гей-Люссака в 1802 году показали, что коэффициент объемного расширения всех газов одинаков

(рис. 8), постоянен и равен

Шарль установил, что если нагревать некоторую массу газа в закрытом сосуде, то на каждый градус увеличения температуры, давление Р в сосуде увеличивается на 1/273 часть давления Р_о при 0⁰С, то справедливо уравнение (рис. 9)

t – температура газа в градусах Цельсия.

Равенство коэффициентов α и γ не случайно, а обусловлено равенством отношений давлений и объемов по закону Бойля-Мариотта.

Шкала Цельсия не совсем удобна для измерения температуры газа, для того, чтобы обеспечить прямую пропорциональность давления и температуры. Из закона Шарля можно получить число T=273+t, которое можно рассматривать как температуру, отсчитываемую по новой, так называемой абсолютной шкале Кельвина, в которой цена градуса остается прежней, но за нуль принята точка, лежащая на 273 градуса ниже точки таяния льда.

Уравнение состояния идеального газа связывает все три важнейших параметра газа.

Смысл его состоит в следующем: Для данного количества идеального газа отношение

произведения давления на объем к абсолютной температуре есть величина постоянная. (27)

Возможны частные случаи уравнения состояния идеального газа, когда один из этих параметров остается постоянным, табл.1.

Табл.1. Частные случаи состояния идеального газа

В случае если теплообмен со средой отсутствует, например, при хорошей теплоизоляции или при малом времени протекания, то процесс называют адиабатическим.

Состояние параметров газа при этом выражается зависимостью:

(28)

где n – показатель адиабаты, равной отношению

(29)

где:

C_p – теплоемкость газа при постоянном давлении;

C _v – теплоемкость газа при постоянном объеме.

Теплоемкость вещества определяет количество тепла, которое нужно сообщить одному килограмму вещества, чтобы повысить его температуру на один градус (рис. 9).

При нагреве газа при Р=const он совершает внешнюю работу по подъему груза на некоторую высоту, поэтому необходимо затратить дополнительное количество энергии. Поэтому C_p > C_v.

Для воздуха показатель адиабаты n равен:

Ввиду большой свободы движения молекул, газовые законы, описывающие изменение их объема значительно более универсальны и точны, чем аналогичные соотношения для твердых тел и жидкостей.

Движение и истечение жидкостей и газов

Если в движущуюся жидкость ввести несколько расположенных по кольцу струек, то они вытянуться в тонкие непересекающиеся линии, которые ограничат так называемую трубку тока (рис. 10).

Она замечательна тем, что ни одна частица жидкости или газа не проходит через нее наружу и не проникает снаружи в неё.

Это значит, что количество газа, прошедшее через сечение S₁ равно количеству газа, прошедшего через сечение S₂ за то же время, т. е. массовые расходы через эти сечения равны.

(30)

Или, подставив значения расходов по формуле (4), получим уравнение неразрывности потока

(31)

Для жидкостей

(32)

а это означает, что равны не только массовые, но и объемные расходы (31)

Обозначим через Е₁ энергию газа в первом сечении, Е₂

– энергию во втором сечении, Е_n – энергию потерь, то есть энергию, израсходованную, например, на внутреннее трение.

Тогда разность двух энергий будет равна энергии потерь

(33)

Энергия сжатого газа равна потенциальной энергии Е_п, которая может высвободиться при его расширении, и кинетической энергии Е_к, т. е.

(34)

Потенциальная энергия сжатого газа равна произведению его давления P на объем V

Е_п = PV (35)

или

(36)

Кинетическая энергия равна

(37)

Энергия потерь выражается как потенциальная энергия столба газа высотой

(38)

Подставив значения энергий в уравнение (19), получим уравнение Бернулли, первое слагаемое которого характеризует динамическое давление, а второе – статическое.

(39)

Для жидкостей, плотность которых в различных сечениях одинакова, это уравнение после умножения обеих частей на ρ, может быть приведена к более простому виду:

(40)

Следствием этого закона является то, что сумма динамического и статического давлений в двух сечениях потока с точностью до потерь постоянна, и, например, при сужении потока, динамическое давление возрастает ровно настолько, насколько уменьшается статическое давление.

Сумма статического и динамического давления представляет собой полное давление

(41)

На рис. 11. представлен сужающийся трубопровод, в двух сечениях которого установлены трубки Пито, измеряющие полное давление, которое почти одинаково в обоих сечениях, хотя скорость W₂ > W₁ как это следует из уравнения неразрывности потока.

Динамическое давление во втором сечении больше, чем в первом, разница же полных давлений незначительна и равна давлению потерь. Это следует из уравнения Бернулли, так как ровно на столько же падает статическое давление.

Если вместо трубок Пито установить трубки Вентури, которые воспринимают только статическое давление, то мы увидим, что статическое давление в сечении 2 значительно меньше, чем в сечении 1. Определив значение статического давления по трубке Вентури, и вычтя его из полного давления определим динамическое давление в сечении 2 по формуле:

(42)

Графически соотношение представлено на рис. 10.

Аналогичные явления происходят и в газах.

Эффект падения статического давления в струе широко используется в вакуумных преобразователях, например, для запитки вакуумных присосок.

Потери давления

Как мы уже установили, при движении жидкостей и газов возникают потери давления – Р_пот.

Они являются следствием двух различных процессов – трения о стенки трубопроводов и завихрений потока.

Поскольку трубопровод неподвижен, то слой, непосредственно примыкающий к его стенке можно считать также неподвижным, следующий слой, расположенный ближе к центру,

перемещается относительно первого с некоторой скоростью, следующий движется с еще большей скоростью и так далее.

Максимальную относительно стенок скорость будет иметь центральный слой.

Если соединить концы векторов скорости плавной кривой, то мы получим годограф скорости (рис. 13), оказывающий распределение скоростей в потоке жидкости или газа.

Для ламинарного течения годограф представляет собой квадратичную параболу, параметры которой зависят от вязкости жидкостей. Если измерить давление по всей длине трубопровода,

то окажется, что давление движущейся жидкости или газа равномерно убывает, поэтому называются потерями по длине.

Экспериментальным путем французский ученый Ж. Пуазейль в 1840 году нашел закон, связывающий потери столба с расходом

(43)

где:

υ – кинематическая вязкость,

l – длина трубопровода,

d – диаметр трубопровода,

g – ускорение свободного падения,

Q – объемный расход.

То есть падение давления пропорционально расходу потока Q, (а также его скорости).

Это уравнение может быть представлено в несколько иной записи, которая называется уравнением Вейсбаха-Дарси:

(44)

где:

λ – коэффициент потерь на трение, равный

(45)