4. Вычисление напряжений по площадкам, перпендикулярным к оси стержня

Рассмотрим небольшую площадку сечения некоторого тела, действующую на нее; внутреннюю силу обозначим ΔF. Отношение внутренней силы к единице площадки определяет среднее значение интенсивности на площадке ΔA.

Если бесконечно уменьшать площадку ΔA, напряжение стремится к своему предельному значению и называется истинным напряжением.

Разложим вектор полного напряжения p на две составляющие: нормальное напряжение σ, направленное по нормали к сечению, и касательное напряжением τ, направленное по касательной к сечению. Между величинами p, τ, σ существует зависимость, которая выражается формулой:

Нормальные напряжения возникают, когда под действием внешних сил частицы стремятся приблизиться или отдалиться. Когда частицы стремятся сдвинуться относительно друг друга в плоскости сечения. Касательное напряжение можно разложить на две составляющие: τ_zx и τ_zy. Первый индекс показывает, какая ось перпендикулярна сечению, второй – параллельно какой оси действует напряжение.

Напряжения в поперечных сечениях связаны с внутренними силовыми факторами, определенными зависимостями.

dN_z = σ_zdA; dQ_x = τ_zxdA; dQ_y = τ_zydA

Соответствующие элементарные моменты относительно координатных осей имеют вид:

dM_z = (τ_zxdA)y – (τ_zydA)x; dM_x = (σ_zdA)y;dM_y =(σ_zdA)x

Просуммировав бесконечно малые силы и моменты, действующие в сечении, получим выражения, связывающие внутренние силовые факторы с напряжениями.

Полученные выражения можно рассматривать как определения, выражающие физическую сущность внутренних силовых факторов. Также, при определенных методах сечения внутренних факторов, эти формулы могут использоваться для вычисления напряжений, если известны законы, по которым эти напряжения распределяются по сечению.

5. Деформации при растяжении и сжатии. Закон Гука. Коэффициент поперечной деформации

Некоторые элементы конструкций и элементов подвергаются только продольным нагрузкам, что вызывает в них деформацию растяжения или сжатия. Длина стержня, подвергнутого растяжению, увеличивается, а площадь его поперечного сечения уменьшается. При сжатии наоборот – длина уменьшается, а площадь сечения увеличивается. При этом изменение длины называют линейной продольной деформацией, а изменение площади поперечного сечения – поперечной линейной деформацией. Для оценки интенсивности деформации применяют такие понятия, как относительная продольная ε и относительная поперечная ε' – деформации, приходящиеся на единицу длины или пощади сечения стержня.

где Δl – изменение длины стержня;

Δa – изменение площади сечения.

Продольную деформацию растяжения обычно считают положительной, деформацию сжатия – отрицательной. Продольная и поперечная деформации связаны соотношением

μ – коэффициент поперечной деформации, который имеет свое значение для разных тел (в пределах упругого деформирования). Этот коэффициент называют коэффициентом Пуассона.

В пределах упругого деформирования экспериментально была установлена прямая зависимость между нормальным напряжением σ и относительной деформацией ε.

σ = Eε

Это соотношение носит название закона Гука, а коэффициент пропорциональности E называется модулем упругости первого рода. Модуль упругости – это величина, постоянная для каждого материала. Из соотношения видно, что при постоянном напряжении деформация меньше при большем модуле упругости.

Если рассматривать участок длиной l, на котором продольная сила и площадь поперечного сечения постоянны, закон Гука можно представить в виде:

Произведение EA называется жесткостью сечения.

При растяжении или сжатии стержня его сечения перемещаются. Осевое перемещение сечений друг относительно друга равно изменению длины стержня между этими сечениями. График, на котором изображены перемещения всех сечений относительно одного, принятого за неподвижное, называется эпюром перемещений.

6. Механические характеристики свойств материала

Для правильного побора материала при расчетах машин и сооружений надо знать механические свойства подбираемых материалов, к которым относятся:

– прочность – способность материала выдерживать воздействие внешних сил без разрушения и возникновения опасных последствий;

– пластичность – способность материала накапливать пластические деформации до разрушения;

– упругость – способность материала восстанавливать свою форму и размеры после удаления нагрузки;

– жесткость – способность тела противостоять упругой деформации и разрушению при воздействии.

Все детали перед введением в эксплуатацию подвергаются механическим испытаниям, что позволяет определить характеристики свойств материалов. Наиболее распространенным испытанием является растяжение. На начальном этапе растяжения абсолютные деформации пропорциональны нагрузке, а относительные деформации пропорциональны напряжению, т. е. справедлив закон Гука. Пределом пропорциональности σ_пц называется максимальное напряжение, при котором выполняется закон Гука. При достижении нагрузкой некоторой величины в образце появляются остаточные деформации. Пределом упругости σ_0,05 называют максимальное напряжение, при котором не возникают остаточные деформации. Принято считать за максимальное то напряжение, при котором в испытуемом образце появляются деформации 0,05 %. Предел пропорциональности, предел упругости, модуль упругости и коэффициент поперечной деформации характеризуют упругие свойства материала. Предел текучести материала σ_m – это наименьшее напряжение, при котором деформация увеличивается без заметного увеличения нагрузки. Если после возникновения текучести продолжать увеличивать действие нагрузки, наступает разрушение. Пределом прочности (временным сопротивлением) σ_в называют напряжение, соответствующее максимальной нагрузке, предшествующей разрушению образца. Пределы текучести и прочности характеризуют прочность материала. Также существуют две величины, характеризующие пластичность материала: относительное остаточное удлинение δ (отношение изменения длины к начальной длине образца) и относительное остаточное сужение ψ (отношение изменения сечения к первоначальной площади сечения).

Испытания на сжатие для пластичных тел в начале дают результаты, похожие на растяжение, но при нарастании нагрузки пластичные тела не разрушаются, а сплющиваются. Поэтому целесообразнее таким испытаниям подвергать хрупкие тела с малым относительным остаточным удлинением при разрыве. Как правило, в таких испытаниях определяется предел прочности σ^с_в – максимальное напряжение, соответствующее максимальной нагрузке.

7. Статически неопределимые задачи при растяжении и сжатии

Статистически неопределимые задачи – это задачи, в которых число неизвестных превышает число уравнений статистики. Недостающие уравнения составляются исходя из условия совместности деформаций. Для примера рассмотрим систему, представленную на Рис. 2.1.

Рис. 2.1

Пусть крайние стержни, имеющие равные площади поперечных сечений (F₁ = F₂) – стальные, средний стержень площадью F₃ – медный. Длина среднего стержня – ℓ₃, крайних – ℓ₁ = ℓ₂; допускаемые напряжения для стали – [σ_c], для меди – [σ_м]. Определить размеры поперечных сечений стержней под действием подвешенного груза Q. Установим силы, действующие на каждый из трех стержней. Считаем их растягивающими. Для их определения рассмотрим равновесие точки А. Схема действия сил на рисунке 2.2.

Рис. 2.2

Точка А в результате деформации переместится в точку А₁. Отрезок АА₁ – удлинение среднего стержня Δℓ₃. Отрезки АВ₂ и АС₂ – удлинения первого стержня ∆ℓ₁ и второго – ∆ℓ₂ соответственно. Определим удлинения стержней ∆ℓ₁, ∆ℓ ₂, ∆ℓ₃ по закону Гука

Найдя из чертежа зависимость между этими удлинениями, получим дополнительное уравнение совместности деформаций. Из треугольника А₁АВ₂ имеем:

АВ₂ = АА₁cosα или ∆ℓ₁ = ∆ℓ₃cosα

Подставляя значения ∆ℓ₁ и ∆ℓ₃ в это уравнение, получим:

Из треугольника АВД получаем ℓ₃ = ℓ₁cosα, тогда

Подставляем значение N₁ в уравнение равновесия и получаем:

По величинам этих усилий и допускаемым напряжениям определим F₁ и F₃ из условий:

8. Напряжения, возникающие при изменении температуры

В статически неопределимых системах возникают напряжения при отсутствии внешних нагрузок не только от неточности изготовления и сборки, но и от изменения температуры. Возьмем стержень, защемленный неподвижно концами при температуре t₁. Длина стержня ℓ, площадь поперечного сечения F, модуль упругости Е. Определить напряжения при изменении температуры до t₂. Выясним, какие силы будут действовать на стержень, если температура повысится от t₁ до t₂. Стержень стремится удлиниться и будет распирать опоры А и В. Со стороны этих опор будут действовать реакции, они и вызовут сжатие стержня. Их величины нельзя найти из уравнений статики, так как единственное условие равновесия дает нам, что реакции опор в точках А и В равны по величине и прямо противоположны. Задача статически неопределимая.

R_A = R_B

Для составления дополнительного уравнения мысленно отбросим одну из опор, например, опору В и дадим стержню деформироваться в зависимости от температуры на величину ∆ℓ_t. По законам физики

∆ℓ_t = αℓ(t₂ – t₁),

где α – коэффициент линейного расширения материала. Но так как длина стержня, закрепленного концами, остается и при нагревании неизменной, вернем опору В в первоначальное положение. Стержень укоротится на величину

∆ℓ_RB = ∆ℓ_t

Это и есть условие совместности деформаций; оно указывает на то, что при изменении температуры длина стержня не изменилась, он не оторвался от неподвижных опор. По закону Гука

Приравнивая обе деформации, получаем:

откуда R_B = α×(t₂-t₁)×EF;

Напряжение, вызванное изменением температуры в стержне постоянного сечения с жестко защемленными концами, зависит лишь от материала, коэффициента линейного расширения, разности температур и не зависит от его длины и площади поперечного сечения.

9. Напряжения по наклонным сечениям при осевом растяжении и сжатии (линейное напряженное состояние)

Конец ознакомительного фрагмента.