Квадрат Дюрера относится к совершенным квадратам четвертого порядка. Его определение звучит так: «Магический квадрат порядка n=4k называется совершенным, если он пандиагональный (сумма цифр должна быть одинаковой в каждом ряду по вертикали, горизонтали и диагонали) и обладает рядом дополнительных свойств. Из этих свойств (в количестве 10) меня заинтересовали два. Это свойство № 1: «Сумма чисел в любом квадрате 2х2, находящемся внутри совершенного квадрата четвертого порядка, равна магической константе квадрата». И свойство № 4: «Если в совершенный квадрат четвертого порядка вписать квадрат 2х2 с вершинами в серединах сторон совершенного квадрата, то сумма чисел, расположенных вдоль одной пары противоположных сторон вписанного квадрата, равна сумме чисел, расположенных вдоль другой пары противоположных сторон, и каждая из этих сумм равна магической константе квадрата». Из этих двух свойств вытекали интересные геометрические построения. Первое – квадрат, вписанный в квадрат и стоящий на вершине простраивался не только в нижних квадратах, но в самом магическом квадрате, а второе – в квадрат, стоящий на вершине, вписывался еще один квадрат. Сделав эти построения в магическом квадрате, я попробовала их снести на остальные.

Отчет о моих построениях описан в дневнике 3 февраля: «Результат – сносятся. Они также подкрепляются диагоналями, идущими через всю работу и образующими вершины разверток усеченного куба. Но самое интересное, что в квадрате «мыши» квадрат, подобный квадрату «34», обрамляет буквы «ENCO», а диагональный квадрат почти симметрично пересекает буквы «L».

P.S. размер нижнего обвода колокола по ширине совпадает с размером внутреннего квадрата 2х2 – «34», так же как и размер его коромысла совпадает с размером самого магического квадрата!»

Но сам способ построения основного магического квадрата я смогла найти только в энциклопедии Брокгауза и Ефрона в статье «Волшебные квадраты». Способ оказался достаточно простым и состоял из двух этапов. Первый шаг – из верхнего левого угла квадрата пишутся по порядку цифры от 1 до 16 в клетки, лежащие на диагоналях. Второй шаг – из нижнего правого угла также в порядке от 1 до 16 в оставшиеся пустыми клетки записываются соответствующие цифры. И магический квадрат готов! Все дальнейшие варианты магического квадрата, в том числе и квадрат, изображенный Дюрером, получаются методом перестановки строк как горизонтальных, так и вертикальных.

Но у «магического квадрата» Дюрера есть еще одна интересная особенность, которая стала очевидной после проведения по клеткам квадрата линий геометрических построений: цифры, вписанные в клетки квадрата, имеют такую форму своего начертания, которая повторяет сквозные линии геометрических построений. И мои дальнейшие исследования магического квадрата показали, что это была не единственная его тайна.

Через несколько дней в своем дневнике я сделала новую запись – о находке еще одного слоя построений.

17 февраля. «Обратила внимание, что основное содержание и завязка находится в нижней части гравюры. И как всегда – вдруг – в глаза бросилось, что лестница и весы вверху симметричны по расстоянию от центральной оси. Проверила, так и есть, две точки совпали. Провела через них линии, посмотреть, куда это приведет. Линия со стороны лестницы внизу прошла точно через шляпку гвоздя на молотке, а вверху через гусек карниза, в точке, лежащей на линии симметрии. С правой стороны – через нижний край пояса Ангела и ту же точку на карнизе. Далее мое внимание привлекли гвозди в ряд на ручке молотка (молоток всегда вызывал у меня подозрение, больно он правильно лежит)».

Линия, проведенная по ручке молотка, прошла по ровной части подола платья и через точку «усечения» развертки куба. Симметрично ей простроилась и вторая линия, прошедшая через другую точку усечения. Когда я провела и соединила все линии, у меня получились два треугольника, или ромб, по форме почти аналогичный ромбу в «Автопортрете. 1500». И если в «Автопортрете» горизонтальная линия проходит по верху белой сорочки в вырезе кафтана, то в гравюре по нижней вершине многогранника и по точке циркуля в руке. Верхушка ромба оказалась зафиксирована линией, проходящей по основанию коромысла колокола, верху песочных часов и по гвоздю, на котором висят весы. Проведя эту горизонталь, я нашла ответ на вопрос: почему все эти предметы сидели на одной линии.

Дойдя в своих поисках до этого места, я подумала, что пришло время систематизировать мои открытия – пошагово описать построения с приложением соответствующих графических листов. И с этих листов я решила дополнительно снять кальки, чтобы четко видеть полученный результат. Все это, кроме фиксации уже найденного материала, поможет увидеть, на что еще не было обращено внимание.

Итак… Первую вертикальную сквозную линию мы проводим, соединив точку перспективы и точку, образуемую наложением наугольника на шар (построение 1 и калька 1). Она проходит также через центр шара и букву «С» в той точке, куда упирается «линия» взгляда Ангела. Вторую вертикальную сквозную линию проводим через центр колокола и по центральной линии магического квадрата. Первую горизонтальную линию мы проводим, соответственно, через точку центра шара и по нижней линии ступени, на которой сидит Ангел. Вторая горизонтальная линия у нас проходит по точке наложения наугольника на шар, по точке пересечения рубанка и наугольника, по верхнему краю горизонтально лежащего гвоздя. Через шляпку этого же гвоздя проходит линия продления правой ножки циркуля. А также через точку пересечения этой линии с линией, идущей через центр магического квадрата, пройдет линия продления ребра многоугольника. Горизонталь, идущая по верхней точке шара, фиксируется ободом светильника и подогнутой правой лапой собаки.

Аналогичные горизонтальные линии мы можем простроить и в верхней части гравюры, но уже на основе магического квадрата. Верхняя линия фиксируется носом мыши, шариком стрелки весов и верхней стороной самого магического квадрата. Нижняя – нижней стороной магического квадрата и четвертой ступенькой лестницы.

Кроме основных вертикальных линий мы можем простроить и дополнительные. Крайняя правая вертикальная линия пройдет вверху по тени магического квадрата, а внизу пересечет шляпку гвоздя в точке, через которую проходит линия удлинения правой ножки циркуля. Крайняя левая вертикальная линия фиксируется краем колесика, верхушкой лампы, загнутым кончиком пинцета, ручкой жаровни, левым краем плавильного тигля и засечкой наклонной стойки буквы «М».

И по ходу своих описаний я совершила «небольшое открытие»:

18 марта. «Я уже давно заметила, что левая стойка лестницы, в отличие от правой стойки, имеет ярко выраженную тень. Если провести линию по границе светотени, то внизу она пройдет через центр сферы. Я решила проверить, есть ли ей подобная линия на правой стороне гравюры. Есть! Эта линия проходит через кончик гвоздя, на котором повешены весы, через точку наложения одного гвоздя на два других (эта группа гвоздей также вызывала у меня вопросы, а теперь есть и ответы), по кончику шляпки отдельно лежащего гвоздя и через центр простроенных квадратов. P. S. Длина отдельно лежащего гвоздя равна радиусу сферы!».

Вертикальные линии, проходящие через центр шара и центр магического квадрата, будем называть «центральными» линиями. Относительно их мы можем простроить и боковые линии. Крайние линии справа и слева уже описаны. Линия, идущая справа от «центральной» линии шара, фиксируется вверху насечкой на стойке буквы-цифры «I» и коленным суставом лапы собаки. Линия, идущая слева, «центральной» линии магического квадрата, закреплена пальцами правой руки Ангела и угловой складкой его платья. И в результате этих построений мы получаем подоснову четырех подобных друг другу квадратов в четырех углах гравюры.

Далее, если продлить диагональ магического квадрата «4-13» вниз, то она пройдет через две точки, лежащие на окружности шара, в местах ее пересечения с «центральной» и крайней левой линиями. А вверху она пересечет крайнюю правую вертикальную линию в точке, где эта линия пересекает так странно отклоненную веревку от колокола. И если из этой точки пересечения провести горизонталь, то она пройдет ровно по низу обвода колокола и по границе светотени второй ступени лестницы.

Если параллельно этой диагонали провести диагональ через центр шара до магического квадрата, то это линия пересечет сам квадрат по стороне вписанного квадрата, стоящего на вершине. В результате мы получим по дополнительному квадрату, который упирается углами в стороны внешнего квадрата.

Во время этих описаний я решила, во избежание путаницы между этими квадратами, дать им условные названия. Так квадрат, который простроен на основе шара, я назвала квадрат «сферы», на основе магического квадрата – квадрат «М.К», на основе гвоздей – квадрат «гвоздей» и, соответственно, на основе летучей мыши – квадрат «мыши».

Далее… Проверив два других квадрата: «мыши» и «гвоздей», мы видим, что там можно провести аналогичные построения. В итоге мы получили четыре квадрата, расположенных в четырех углах гравюры, в каждый из которых вписан еще один квадрат, стоящий на вершине. И дополнительно – линию симметрии всей этой композиции, которая проходит по отверстию в линейке, по краю выщерба на мельничном жернове, правому глазу Путти и по центру гуська карниза.

При внимательном изучении каждого из квадрата в отдельности, мы обнаруживаем еще один вписанный квадрат.

В квадрате «сферы», кроме двух уже простроенных (один описывает шар, другой вписан в шар по диагонали) мы простраиваем еще один квадрат, вписанный в шар. Он выстраивается на основе трех точек. Первая фиксируется пересечением окружности и нижнего обода лампы, две другие – пересечением окружности диагональной линией, идущей от магического квадрата.

Если далее мы продлим стороны этого квадрата до квадрата «мыши», то левая сторона подобного ему квадрата пройдет по левой наклонной стойке буквы «М», а правая – по правой наклонной стойке буквы «А». Также подобную фигуру мы можем простроить в квадрате «М.К.», эти построения будут фиксироваться свойствами самого магического квадрата. При сносе горизонтальных линий от квадрата «сферы» и вертикальных от квадрата «М.К.» до их пересечения, мы получаем еще один квадрат, вписанный в квадрат «гвоздей». И через нижний левый угол этого квадрата проходит «указующая» линия, идущая через отдельно висящий ключ. При детальной проверке оказывается, что длина отдельно лежащего гвоздя равна не только радиусу шара, но и половине стороны основного квадрата.

Далее на себя обращает внимание колокол. Длина его коромысла равна длине самого магического квадрата, а размер нижнего обвода колокола равен размеру внутреннего квадрата «2х2» с магической константой 34. Этот квадрат также можно снести на три остальные квадрата, и точки новых квадратов будут зафиксированы линиями пересечения сквозных диагоналей и квадратов, стоящих на вершинах. Линии сноса этих квадратов также имеют точки фиксации. Вертикальная линия сноса стороны квадрата «10-6» фиксируется затылком Ангела и локоном ее волос, нижняя горизонталь – точкой наложения подола платья на правую туфлю и подошвой левой туфли. И крайняя левая вертикальная линия, идущая от квадрата «сферы» к букве «Е», зафиксирована наложением окружности на широкий обод лампы, а внизу листа – изгибом наугольника.

Интересный момент наблюдается в квадрате «мыши»: в этот квадрат попадают четыре буквы «E», «N», «C», «O». С буквой «Е» вместо «А», так как слово «МЕЛАНХОЛИЯ» на латыни пишется «MELANCHOLIA». Описка Дюрера, прекрасно знавшего латынь, в этом слове помогла мне в дальнейшем найти важные ключи к его загадкам, в том числе и в других «Мастерских гравюрах».

Следующий слой построений у нас базируется на самой надписи «MELENCOLIA’I». С самого начала мне «бросилось в глаза» несоответствие друг другу межбуквенных интервалов в надписи, а также несимметричный наклон самих букв. В дальнейшем это частично объяснилось вписанием данного слова в квадрат. Дюрер использовал основные стойки букв в качестве фиксирующих элементов построения. А также тем, что надпись со своей опечаткой являлась подсказкой о скрытом содержании самой гравюры. Это подтверждается тем, что если через основные стойки букв «E», «N», «L», «I», и через центр букв «C», «O», «A», провести линии, то все они пройдут сквозь вершины изображенного многогранника (фрагмент 3).

И следствием этих построений в надписи является следующий слой, который мы простраиваем на основе самого многогранника. Если продлить четыре грани многогранника, то эти линии упрутся в вершины простроенных основных квадратов «сферы», «мыши», «гвоздей» и «М.К.». Еще одна грань пройдет через точку усечения развертки самого многогранника, а другая грань, при своем продлении пройдет через центр основания ключа, через эту же точку проходят еще четыре линии, активно участвующие в построении.

Дневник, 29 марта. «Сегодня снова описываю новое открытие, сделанное мною в гравюре «MELENCOLIA’I». Касается оно магического квадрата и колокола. На их симметричность и совпадение размеров я обратила внимание раньше, и использовала это в построениях. Сегодня решила проверить расстояние от самого магического квадрата до уключины, так как намедни мне на глаза попался лист с графическим построением «золотого сечения». Я решила проверить (построение 7). Результат полностью подтвердил мою догадку. Все элементы из группы магического квадрата и колокола участвуют в этом построении, даже тень от самого квадрата».

Но это еще оказалось не все. Параллельные линии, идущие как продолжение магического квадрата к коромыслу колокола, пересекаются в двух местах с двумя диагональными линиям. Первая точка – это пересечение вертикали с диагональю веревки. Вторая точка – пересечение второй вертикали с линией, образующейся при продлении стрелки циферблата песочных часов. Через эти две точки можно провести горизонтальную линию (построение 7). Эта линия проходит через стрелку весов, в той же точке, где и линия, симметричная линии, идущей по тени на стойке лестницы и центр шара. Это вторая точка фиксации, первая точка располагается внизу – это шляпка отдельно лежащего гвоздя.

За время своих открытий в гравюрах Дюрера я находила им подтверждения иногда и неожиданным способом. Например, во время прочтения книги Михаила Яковлевича Либмана «Дюрер и его эпоха», я задержала свое внимание на гравюре «MELENCOLIA’I», приведенной в этой книге. Там эта гравюра на пару сантиметров меньше оригинала и более контрастна по тону. И благодаря этому контрасту, я обратила внимание на небольшой выщерб, находящийся на одной из граней многогранника. И вспомнив, что на верхушку выщерба на мельничном жернове приходит вершина развертки многогранника, решила проверить и этот. И да! Через мысок-носок-уголок выщерба проходит центральная линия, идущая от буквы «С» в надписи до точки центра шара.

Еще в начале своих построений я заметила, что низ жернова и центр основания отдельно висящего ключа лежат на одной горизонтали. Но до поры до времени эта линия мне ни о чем не говорила.

Во времена учебы на архитектурном факультете у нас особым шиком считалось в архитектурных чертежах продлевать линию дальше, чем это требовалось по размерам чертежа. В результате получались как бы усики, торчащие в стороны. Эта привычка так у меня и осталась, и она помогла мне найти у Дюрера одно из самых элегантных, на мой взгляд, его геометрических построений.