Таким образом, в нашей гипотетической формуле должно оставаться открытым, функционирует ли словечко «есть» в одном или в другом смысле или, что сводится к тому же самому: значение связки в нашей формуле в дизъюнктивном расширении значения охватывает различные единичные значения. То, что это расширение, это «оставаться открытым» допустимо, основывается на том, что в пределах закономерностей гипотетических связей дизъюнктивно расширенное понятие соответствующих [связке] «есть» отношений функционирует формально точно так же, как более узкие понятия. Например, как для идентифицирующего, так и для атрибутирующего и суммирующего «есть» имеет силу закон транзитивности: если верны оба предложения «если нечто есть А, оно есть В» и «если нечто есть В, оно есть С», то также верно предложение «если нечто есть А, оно есть С». И не только это: закон продолжает действовать также для дизъюнктивно расширенного «есть», поскольку связь гипотетических предпосылок указанной формы даже при различном значении связки дает в итоге соответствующее придаточное предложение следствия, в котором связка обладает одним или другим из этих значений. Подобное имеет силу также для других логических законов, которые принимаются в расчет в отношении выступающих здесь форм предложений.

В соответствии с этим мы можем, следовательно, установить единую гипотетическую форму в качестве меры тождества (соответственно, не-тождества) объема для всех форм предложений вообще и одинаковым образом регламентировать прочие предметные отношения или, что то же самое, прочие отношения объема между любыми представлениями.

Высказывания, что каждое представление имеет объем, что каждое представляет предмет, можно было бы в соответствии с этим интерпретировать как просто модифицированные. Их буквальный смысл (eigentliche Meinung) был бы выражен, соответственно, косвенным образом намечен в предложении: каждое представление имеет объем, представляет один или много предметов, если предположить, что относящееся к нему утвердительное экзистенциальное суждение является действительно значимым. Цель и опора этой модификации прямого смысла могла бы заключаться только в ее практической полезности, стало быть в том, чтобы каждое представление могло бы вступать в гипотетические отношения рассмотренной формы; чтобы можно было объемами, которые допускаются при [условии] предположения таких экзистенциальных суждений, которые, естественно, не должны быть обязательно сформулированными, оперировать в широкой и четко ограниченной сфере точно таким же образом, как и объемами действительными; вместе с тем, чтобы эквивалентность в точности имела формальные свойства отношения равенства, субординация [имела] формальные свойства отношения включения и т. д., таким образом, чтобы, пока не выходят за пределы области гипотетических связей, прекратить любые суждения о существовании или несуществовании соответствующих предметов и объемов, [чтобы] с высказываниями об объемах и отношениях объемов можно было обращаться точно таким же образом, как если бы они были прямыми и безоговорочными; и с этим также связано, например, чтобы наглядные образы из различных сфер могли найти применение в качестве характерных символов и технической поддержки [для] оформления суждений. Cамо собой разумеется, в этом положении дел (я подразумеваю не познание его in abstracto) заключен весьма действенный мотив для естественного возникновения и сохранения модифицированных способов высказываний как внутри, так и вне логики.

Впрочем, их [возникновение] можно отнести на счет более глубоких и общих логических причин. Если мы представим себе внутри паутины мыслей рассмотренного здесь вида экзистенциальные предложения, которые были бы необходимы, чтобы модифицированным оборотам речи и мысли придать собственный смысл (Eigentlichkeit), конъюнктивно соединенный с одним единым предположением, то мы можем столкнуться с логической закономерностью, которая имеет всецело универсальную значимость и чрезвычайную важность для понимания научной методики: а именно, что формальные законы, которые регламентируют мышление при [условии] постоянного предположения, являются теми же самыми законами, что и те, которые имеют силу для, так сказать, свободного, т. е. не ограниченного никакими предпосылками [мышления]. С психологической точки зрения, мы можем предположение, которое мы «раз и навсегда» зафиксировали или которое лежит в основе наших последующих мыслительных ходов как «само собой разумеющееся», но без ясной фиксации (это указывает на предрасположенности к определенным дополнительным размышлениям и ограничениям), во время этих ходов часто совершенно игнорировать и можем делать это также на самом деле без ущерба для истины. Любой способ переформулировки, согласно чисто логическим законам, соответствующих, при [условии] предположения, вынесенных суждений или [любой способ] выведения из них следствий, который был бы оправданным, если бы эти суждения были безусловными, имеет также силу в имеющемся случае их зависимости от скрытого или невысказанного предположения: что выведенные суждения сами, в свою очередь, зависят от него. Или, с логической точки зрения: придаточные предложения одного и того же предположения подчиняются тем же самым законам дедукции, которые имеют силу для самостоятельных предложений, каждое заключение, которое имело бы силу исходя из таких придаточных предложений самих по себе, имеет силу также при предположении, а именно в качестве сделанного при его [условии]. С этим связано то, что каждое обусловленное высказывание об истине и ложности, существовании и несуществовании, следствии и его отсутствии, действительных или фиктивных предметах и т. д. может быть истолковано точно так же как безусловное, коль скоро уверены в том, что пределы имеющегося предположения не нарушаются. Это имеет важные следствия, в особенности в системах дедукции так называемой «формальной арифметики», где гипотетические соединения в определенном порядке формальных базисных понятий и относящихся к ним аксиом служат для конституирования замкнутой математической области, «алгебры», чье содержание образует разветвляющаяся в бесконечность система подлежащих выведению в чистой дедукции, формальных следствий этих основоположений. Здесь не только так говорят, скорее даже так судят, как будто дедуцированные истины, существования, отношения, несовместимости были бы значимы безоговорочно.

Иной, адекватный (eigentliche) способ выражения и суждения был бы, ввиду дополнительной (и бесполезной) мыслительной работы, которая должна быть выполнена, просто неосуществим. Непоколебимое правило, у правильно образованного исследователя ставшее комплексом привычек, – не судить ни о чем, что не следует исключительно из аксиом, – гарантирует значимость выдвигаемых положений и практически определяет границы свободного логического движения. В таком случае, если исследователь, примеры чего имеются, превратно понимает гипотетический характер основоположений и полагает, что дефиниция (которая создает «данную» область) должна вполне серьезно иметь силу в действительности, полагать существование, то это не имеет никакого влияния на внутреннюю убедительность математической системы. Если правильно не осознают характер основоположений, дедуцированные истины понимают так, как если бы они утверждались фактически, безусловно также по своей объективной значимости как безусловно существующие сами по себе, то единственно необходимой коррекцией будет простое подчинение [их] условному предположению. И подобное имеет значение вообще: мы должны в значительной мере довериться модифицированному способу выражения и, как правило, данному вместе с ним модифицированному мышлению: [во-первых,] в той мере, в какой логическое мышление действует при этом на основе рассмотренной выше закономерности, в других же случаях – когда связи суждений друг с другом и с предположениями лишь фактического вида осуществляются (sind) на основе достоверности нашей памяти, которая, впрочем, вступает в действие также в первых [случаях], если это делает возможным соединение результатов с предположением. Эти модификации мышления, эти факты, что мы выносим бесчисленные суждения, которые мы «по существу», однако, не полагаем, что имеются как замещающие представления, так и замещающие суждения, одно от другого неотделимо, это сердцевина (Hauptstück) «экономии мышления». Нельзя понять без нее науку как осуществление человеческого мышления.

Выше мы находили опору для нашей точки зрения в математике и, однако, как раз из этой науки пытаются почерпнуть контраргументы.

Побудить к сомнению могло бы то, что в соответствии с нашим подходом не уделяется должного внимания различию между математическим существованием и несуществованием (стало быть, различию между реальным и воображаемым в смысле старой математики и логики). Скажут, что вопрос о том, соответствуют ли идеальным геометрическим понятиям предметы в действительности, полностью выпадает из области геометрического исследования. И все же геометры различают действительные и недействительные понятия, они говорят, соответственно, о существовании и несуществовании геометрических образований и часто приводят для одних и для других самые обстоятельные доказательства, соответственно, конструкции. Таким образом, в представлениях, которым не обязательно соответствуют предметы в действительности и, по мнению большинства, вовсе не соответствуют, существует, как это кажется, существенное различие, совершенно аналогичное обычному [различию] между действительными и недействительными представлениями: одни представляют геометрические предметы, другие нет. Суждение тождества «два представления имеют те же самые предметы» не могут здесь зависеть от гипотезы: «если предположить, что им вообще соответствует предмет», поскольку сравнение суждений относится не к действительным, но к математическим объектам и подобные объекты при «реальных» понятиях имеются на самом деле. Таким образом, кажется сомнительным основывать понятие представляемого предмета лишь на гипотетических отношениях суждений, или это кажется уместным только в том случае, если намереваются говорить о предметах в отношении всех представлений вообще, следовательно, также в отношении «круглых четырехугольников». Но не будут же ставить понятия этого вида на одну ступень с подлинными геометрическими понятиями, «реальность» которых демонстрируется благодаря конструкции, между тем как мы при этом движемся не на почве действительной, но как раз математической реальности.

Если мы выше ссылались на формальную математику, то наши противники ссылаются на реальную. Первая является свободным от любого наглядного созерцания рассуждением, которое рассматривает чистые формы математических связей и систем в наиболее общей универсальности, исследует их разнообразные возможные вариации и таким образом посредством глубочайшего проникновения в технику математических связей дает также большую техническую власть над математическими объектами, большую методическую свободу и искусность. Напротив, реальная математика опирается на наглядное созерцание, на нем основывает свои понятия и от него же получает свойственную ей реальность.

Стало быть, таким путем могли бы вновь попытаться спасти для интенциональных предметов, по крайней мере, в области математики^[29], какой-то вид существования; однако также здесь обманчивая видимость тает при учете нескольких надстраивающихся друг над другом модификаций. Нет различных модусов существования или значимости, а где мы полагаем найти таковые, там либо высказывания являются модифицированными, либо различия касаются объема употребления, который благодаря привычному отношению к основной интересующей сфере кажется суженным, между тем как понятие одновременно в явно не выраженной форме обогащается.

Часто термин существование (Existenz) употребляется в смысле реального бытия (Dasein), существования внутри реальной действительности; здесь примитивное и более общее понятие существования содержательно обогащается и [его] объем сужается рамками реальных предметов. Истины, предложения, понятия также являются предметами, также в их отношении говорится о существовании в полном и прямом смысле, однако, они вообще не являются чем-то, что можно было бы встретить в реальной действительности. Насколько выражение «имеется какое-то А» может претендовать на смысл и истину, настолько же простирается сфера понятия существования. В соответствии с этим, является двусмысленным утверждение, что объекты, соответствующие математическим понятиям, не существуют, в зависимости от того, мыслят ли [при этом] реальную действительность или нет. Если бы мы имели, как верят многие, о геометрических образованиях адекватное наглядное представление в фантазии, тогда их представлениям соответствовала бы истина и все же, возможно, не действительность, как и тогда, к примеру, когда предположение действительного мира было бы обманчивой видимостью. Здесь дело обстоит подобным же образом, как и с понятиями чувственных качеств: в фантазме красного предмета красный цвет действительно существует, даже если в действительности красная вещь и, тем самым, также индивидуально присущая ей краснота не существовали бы. Репрезентативное отношение наглядного образа к наглядно не созерцаемой действительности, конечно, позволяет нам сказать: лишь сфантазированный объект не является объектом. Однако это означает только то, что фантазма не есть то, что она представляет. Но, взятая сама по себе, она существует, и вместе с ней все абстрактные моменты, которые ее конституируют и которые мы в ней усматриваем. Правда, можно было бы усомнится, возможно ли на самом деле наглядное созерцание геометрических объектов или скорее очевидно, что этого не происходит. Наглядное созерцание и пространственно-эмпирическое восприятие содержат исходные пункты и ведущие мотивы для образования геометрических понятий, но принадлежащие понятиям абстрактные предметы и их атрибуты не могут быть получены просто через «абстракцию» (в обычном теперь смысле внимательного выделения отдельных черт) из наглядных созерцаний, они не находятся внутри них как видимая форма в видимой «поверхности». Треугольник, наглядно демонстрирующий абстрактное понятие, не является геометрической фигурой, он служит геометру в качестве простого символа, типичный образец которого обладает в его душе привычной связью с соответствующим чистым понятием и его идеальным или лишь «мыслимым» предметом. Созерцаемая форма действительно обладает существованием, так же как и само наглядное созерцание, она лежит, следовательно, в основе очевидной возможности представления оформленных таким образом объектов вообще. Геометрическая форма, напротив, имеет только представленное существование, существование благодаря дефиниции и значимой дедукции из аксиоматических основоположений. Возможность геометрических образований, следовательно, совместимость объединенных в их представлениях определений обеспечивается не благодаря наглядному созерцанию этих образований (поскольку мы, безусловно, лишены такого наглядного созерцания), но благодаря совместимости скоординированных в аксиоматических основоположениях элементарных определений и благодаря чистой дедукции, которая обеспечивает «доказательство существования». Основоположения совершенной и чистой геометрической системы есть не что иное, как расщепленная в ряд отдельных высказываний дефиниция, соответственно, гипотетическое полагание разнообразия, которое следует считать геометрическим пространством. Это высказывания двойного вида: экзистенциальные высказывания и относящиеся к их предметам общие (номологические) высказывания. «Мы предполагаем (“представляем себе”) разнообразие, которое мы называем пространством, его элементы [называем] точками со следующими свойствами: пара его точек образуют “прямую”. Две прямые пересекаются в одной точке и т. д.» Система чистых следствий (в отношении к пространству рассматривается совокупность его конзекутивных свойств) образует содержание геометрии. В пространстве «существует» любое образование, существование которого является чистым следствием из основоположений, стало быть, из дефиниции пространства, соответственно, полагания пространства. Все предложения геометрии, как экзистенциальные, так и номологические, выносятся при [условии] никогда не высказываемого, в силу его само собой разумеющегося характера, общего предположения: если допустить, что существует пространство, разнообразие так-то и так-то определенного (в основоположениях четко определенного посредством дефиниций) вида, то в нем существуют такие-то и такие-то образования, для этих последних значимы такие-то и такие-то предложения и так далее. Математическое существование и несуществование есть, следовательно, существование и несуществование при [условии] гипотетического полагания соответствующих основоположений: экзистенциальные предложения, как в общей сложности все математические тезисы, являются неполными, являются простыми дополнениями гипотетических предложений с всегда одинаковой вводной частью. Исключение составляют лишь существования, которые положены в основоположениях, они не являются существованиями при [условии] гипотезы, но сами есть гипотезы, следовательно, опять же неподлинные существования. Таким образом, геометрическая истина и существование не означают возможность или совместимость, будь-то сами по себе, будь то при условии основоположений. Красный четырехугольник не есть геометрическое существование, красный и черный (по всей поверхности) четырехугольник не есть геометрическое несуществование. Скорее речь идет о чисто дедуктивно обусловленном (логически с необходимостью следующем) существовании или несуществовании при гипотезе основоположений, когда о специально принятом содержании существования последних речь не идет. «В определенном посредством дефиниций пространстве» существует квадрат, но не существует круглый квадрат, треугольник, но не равносторонний прямоугольный треугольник и т. д. Подобным образом мы говорим «в греческой мифологии» существуют нимфы, «в немецких народных сказках» – Красная Шапочка и т. д.; только здесь нам не нужно иметь дела с научными гипотезами и чистыми дедукциями. Мы не будем, следовательно, одобрять неясные высказывания о различных областях существования, о различных «мирах» (universes of discourse), которые по разному распоряжаются существованием и несуществованием того же самого объекта. «Мир» мифа, мир поэзии, мир геометрии, действительный мир – это неравноправные миры. Существует только одна истина и только один мир, но множество представлений, религиозные и мифологические убеждения, гипотезы, фикции, и вся разница сводится к тому, что мы чаще, иногда по причинам практического удобства, говорим так, словно бы суждения, которые мы выносим, были безоговорочными, [сводится к тому], что мы используем безусловные экзистенциальные высказывания, в то время как логически правильное выражение требовало бы гипотетических предложений с этими экзистенциальными предложениями в качестве придаточных предложений (или даже других эквивалентно редуцируемых к гипотетическим предложениям этого вида форм предложений). Это происходит, естественно, тогда, когда широкое разнообразие высказываний выносится при [условии] одного и того же, будь то фиктивного (произвольного, поэтического, мифологического), будь то научного предположения, хотя оно не только не высказывается, но, как правило, фактически не мыслится; оно остается тогда часто в диспозициональном возбуждении и часто придает обусловленным суждениям субъективный психологический характер, по которому мы распознаем их в качестве обусловленных. Однако часто не происходит даже этого, суждения выносятся как безусловные, в то время как только с учетом связи этого хода размышлений с суждениями других групп проявляется необходимость понимать их в качестве условно значимых. Геометр не выносит условных суждений. Только критическая рефлексия на их значимость (Wert) приводит его, если вообще [приводит], к познанию правильного положения дел.