Цитаты из книги «Эта странная математика. На краю бесконечности и за ним»

То же касается и игр в казино, по очевидной причине: казино – предприятие коммерческое, его задача – получать прибыль. Случаются, правда, и сбои из-за ошибки в расчетах. Известен случай, когда казино увеличило сумму выигрыша всего лишь по одному из исходов игры в блек-джек. В результате математическое ожидание выигрыша стало положительным и заведение за несколько часов потеряло огромную сумму. Заработок казино напрямую зависит от досконального знания математики теории вероятностей.

В лотерее ожидаемое значение, как правило, отрицательное, поэтому с рациональной точки зрения это не лучший способ заработать.

зависит от случая, математическим ожиданием называют среднее значение выигрыша, на который вы можете резонно рассчитывать. Предположим, например, что вы играете в кости и выигрываете по шесть фунтов каждый раз, когда выпадает три очка. Ожидаемое значение выигрыша в этом случае – один фунт, поскольку шансы, что выпадет три очка, составляют один к шести, а одна шестая выигрыша – это и есть один фунт. Если играть много раз, за каждый бросок кости вы заработаете в среднем по одному фунту. После 1000 бросков ваш средний заработок составит 1000 фунтов, так что если каждый раз ставить по фунту, то вы как раз выйдете в ноль. Обратите внимание, что, хотя ожидаемое значение и составляет один фунт, выиграть ровно столько в этой игре невозможно. Не во всякой азартной игре возможно получить за одну партию точную ожидаемую сумму выигрыша; ожидаемое значение – это тот средний размер выигрыша за партию, на который вы можете рассчитывать при многократном повторении игры.

Работая над этой задачей, Паскаль и Ферма пришли к понятию так называемого математического ожидания. В азартных играх или любой другой ситуации, когда успех

Паскаль и Ферма нашли более удачное решение, а заодно открыли новый раздел математики. Они вычислили вероятность победы каждого из игроков. Игроку с одним очком, чтобы выиграть, нужно набрать еще два очка подряд. Вероятность этого равна S, помноженной на S, то есть j. Таким образом, он должен получить четверть суммы выигрыша, а остальное идет сопернику. Этим же методом можно решить любую задачу такого рода, только вычисления могут оказаться посложнее.

Наблюдатель с реальным четырехмерным зрением, смотря на объект в нашем мире, способен был бы видеть не только всю его трехмерную поверхность, но одновременно и то, что находится внутри. К примеру, если вы запрете свои ценности в сейфе, четырехмерное существо сможет, бросив на него один лишь взгляд, не только увидеть сейф одновременно со всех сторон, но и заглянуть внутрь (а при желании и достать его содержимое!). И это не потому, что подобное существо обладает рентгеновским зрением и способно видеть сквозь стены, нет. Просто у него есть возможность использовать дополнительное измерение. Мы используем ту же возможность, глядя на замкнутое пространство в двумерном мире. Нарисуйте квадрат на бумаге – пусть это будет двумерный сейф, – а внутри него какие-нибудь драгоценности. Житель Флатландии, обитающий в плоскости своей двумерной страны, увидит только внешнюю границу сейфа – отрезок прямой. Мы же, смотря на лист бумаги – флатландский мир – сверху, видим одновременно и линии, образующие стенки сейфа, и его содержимое и можем, протянув руку, вынуть из него двумерные драгоценности. Флатландец несказанно удивился бы тому, как мы сумели, не проделав ни единого отверстия в стенках, увидеть то, что внутри сейфа, и достать спрятанное. Точно так же и наблюдатель, рассматривающий наш мир из своего четвертого измерения, смог бы одновременно видеть и снаружи, и изнутри все составные части любого трехмерного объекта – будь то дом, автомобиль или человеческое тело.

Наш опыт зрительного восприятия мира строится на том, что свет, проходя через глазное яблоко, попадает на сетчатку и создает два плоских изображения. Светочувствительные клетки сетчатки преобразуют свет в электрические сигналы, которые передаются в зрительную кору головного мозга, а уже там двумерная информация реконструируется в трехмерную. Два глаза позволяют нам видеть объект под немного различными углами, а мозг еще в нашем юном возрасте обучается интерпретировать эти различия как разницу в перспективе и строить трехмерное изображение. Но даже закрыв один глаз, мы не переключаемся мгновенно в двумерное толкование мира. Смотря на мир одним глазом, мы все равно получаем от него “подсказки” в виде искажений перспективы, игры света и тени, которые позволяют нам в своем воображении воссоздать объем видимого. А еще для того, чтобы усилить ощущение трехмерности, мы можем двигаться или крутить головой, изменяя угол зрения; можем дополнять то, что видим, информацией от других органов чувств – слуховой, осязательной. Мы так наловчились добавлять к картинке лишнее измерение, что, смотря кино на плоском экране телевизора, автоматически, без всяких 3D-технологий воспринимаем его как объемное.

В лекции, прочитанной в 2012 году в Музее Сальвадора Дали, геометр Томас Бэнчофф, консультировавший художника по математическим вопросам, связанным с его картинами, объяснял, что Дали пытался взять “объект из трехмерного мира и вынести за его пределы… Целью этого действа было изобразить одновременно две перспективы – два наложенных друг на друга креста”. Подобно ученым XIX века, пытавшимся рационально обосновать спиритуализм наличием бытия в некоем высшем пространстве, Дали использовал идею четвертого измерения, чтобы объединить религиозное с физическим.

Завершенное Сальвадором Дали в 1954 году “Распятие (Corpus Hypercubus)”

Это дало основания предположить, что после операции Моне стал видеть ультрафиолетовый участок спектра. Возможность такого изменения зрения подтверждается известным фактом, что хрусталик глаза человека не пропускает свет с длиной волны меньше 390 нанометров (миллиардных долей метра) – это нижний предел фиолетового диапазона, – хотя сама сетчатка способна воспринимать свет с длинами волн до 290 нанометров, то есть ультрафиолетовый. Есть также немало более поздних свидетельств, когда после удаления хрусталика как дети, так и люди в возрасте приобретают способность видеть участок спектра за пределами фиолетового. Один из наиболее подробно описанных случаев произошел с бывшим военным летчиком, инженером из штата Колорадо Алеком Комарницким, которому заменили пораженный катарактой хрусталик на искусственный, пропускавший часть ультрафиолетового излучения. В 2011 году тестирование с помощью монохроматора в лаборатории фирмы Hewlett-Packard показало, что Комарницкий видит свет с длинами волн до 350 нанометров как темно-фиолетовый и даже различает яркость излучения, находящегося в еще более дальнем участке ультрафиолетового спектра, вплоть до 340 нанометров.