Глава 2
Как математику видят школьники?

Увы, эта глава будет краткой и мрачной. Я прошу прощения. Но я слишком занят, чтобы просить прощения даже за другие вещи, например за мои душеразжижающие уроки математики.

Вы понимаете, что я имею в виду. Для множества школьников заняться математикой означает записать карандашом предписанную последовательность действий. Математические символы ничего не символизируют; они просто пляшут по странице, выполняя бестолковые хореографические упражнения.

Вся эта математика, приятель, –

Побасенки и выдумки абака,

Сплошь синусы да греческие буквы,

Не значащие ровно ничего^[14].

Позвольте принести два кратких извинения. Во-первых, я прошу прощения у своих учеников за то, что я часто заставлял их чувствовать себя как персонаж на этой картинке. Я пытался избежать подобных ситуаций; кроме того, я пытался отвечать на все электронные письма, экономить на мороженом и посещать парикмахерскую чаще, чем раз в четыре месяца. Пожалуйста, простите, ведь я обычный человек и ничто человеческое мне не чуждо.

Во-вторых, я извиняюсь перед математикой за все нанесенные мною раны. В свою защиту могу сказать: госпожа Математика, вы живете в неосязаемой башне количественных концепций, зацементированных абстрактной логикой, поэтому вряд ли я оставил на вашем теле глубокие шрамы. Но я не настолько заносчив, чтобы не попросить прощения.

Вот и все в этой главе. Обещаю: следующая будет гораздо более взрывной, как и любой хороший сиквел.

Глава 3
Как математику видят математики?

Тут все очень просто. Математика похожа на язык.

Курьезный язык, я не спорю. Насыщенный, лаконичный и требующий кропотливого чтения. За то время, пока я успею проглотить пять глав «Сумерек»^[15], вы, возможно, так и не перелистнете страницу вашего учебника по математике. Этот язык приспособлен для того, чтобы рассказывать некоторые истории (например, о соотношениях между кривыми и уравнениями), но не в силах поведать другие (например, об отношениях между девушками и вампирами). Поэтому он обладает определенным лексиконом и полон слов, которых нет в другом языке. Например, даже если я переведу формулу на привычный английский, она останется бессмыслицей для тех, кто не знаком с рядами Фурье, так же как «Сумерки» – бессмыслица для тех, в ком не играют подростковые гормоны.

Но все-таки кое в чем математика – обычный язык. Пытаясь добиться понимания, математики используют стратегии^[16], знакомые большинству читателей. Они формируют мысленные образы. Они составляют парафразы в своей голове. Они пропускают отвлекающие формальности. Они проводят параллели между тем, что читают, и тем, что уже знают. И, как ни странно, они испытывают эмоции: радуются, веселятся или брезгливо кривятся, когда читают научные тексты.

За одну короткую главу нельзя научить бегло говорить на математическом языке, это не легче, чем научить американца бегло говорить по-русски. Филологи могут часами дискутировать о четверостишии Джерарда Мэнли Хопкинса^[17] или о двусмысленной фразе из электронного письма. Математики тоже могут расходиться во мнениях по определенным вопросам. У каждого своя оригинальная точка зрения, сформированная жизненным опытом и личными ассоциациями.

Тем не менее я хочу предложить вашему вниманию несколько вольных переводов, несколько беглых взглядов на стратегию, с помощью которой математики могут читать актуальные математические статьи. Назовем ее Теорией закорючек 101^[18].

Обычно я слышу от школьников вопрос: «Имеет ли значение, что я перемножу сначала: 11 и 13 или 7 и 13?» Ответ («Нет») менее интересен, чем подоплека вопроса: с точки зрения моих студентов, умножение – это действие, операция, которую вы делаете. Один из труднейших уроков, который я преподаю им, состоит в том, что иногда это не так.

Вы не должны воспринимать 7 × 11 × 13 как команду. Вы также можете назвать это число 1002 – 1, или 499 × 2 + 3, или 5005/5, или Джессика, или Число-которое-спасет-планету-Земля, или Старое доброе 1001^[19]. Но если 1001 – имя, похожее на имена других друзей из мира чисел, то 7 × 11 × 13 – причудливое и произвольное прозвище. Точнее говоря, это официальное имя из свидетельства о рождении.

7 × 11 × 13 – это результат факторизации (то есть разложения на простые множители), задающий объемную точку зрения.

Некоторые ключевые фоновые знания: сложение скучно. А именно: записывать 1001 как сумму двух чисел – поистине тоскливое занятие. Вы можете представить это число в виде суммы 1000 + 1, или 999 + 2, или 998 + 3, или 997 + 4… и так далее, и так далее, пока вы не впадете в кому от скуки. Это разложение на слагаемые не говорит нам ничего особенного о числе 1001, потому что все числа можно разложить на слагаемые практически одинаковым способом (например, можно записать число 18 в виде суммы 17 + 1, или 16 + 2, или 15 + 3…). Визуально это похоже на деление одной кучи на две. Без обид, но копаться в кучах глупо.

Умножение – вот настоящее веселье. Чтобы не быть чужим на этом празднике жизни, вам стоит применить первое стратегическое правило чтения математических текстов: формирование мысленных образов.

Как показано на рисунке на предыдущей странице, умножение сводится к сеткам и массивам. Число 1001 можно рассматривать в качестве гигантской конструкции из кубиков: 7 в ширину, 11 в длину и 13 в высоту. Но это только начало. Вы можете представить это число как 11 слоев из 91 кубика каждый, а если вы наклоните голову, то увидите 7 слоев по 143 кубика в каждом. Все эти способы разложения числа 1001 становятся очевидны благодаря факторизации. Но почти невозможно разобрать это число без кропотливых вычислений, просто глядя на сочетание цифр.

Факторизация – это ДНК числа. Благодаря факторизации вы можете понять, на что делится данное число, а на что нет. Если математика – это мастер-класс по кулинарии, то произведение 7 × 11 × 13 – это не рецепт блинчика, а сам блинчик.

Для типичных фанатов число π – таинственная руна, символ математической магии. Они размышляют над его иррациональностью, запоминают цепочку из тысячи цифр и отмечают 14 марта День π, сочетая наиболее славное искусство человечества (приготовление сладких пирогов) с наименее славным (пижонство). Для широкой же публики число π – это объект одержимости и благоговейного трепета. Вокруг него сложилось нечто вроде религиозного культа.

А для математиков π – это приблизительно 3.

Что до бесконечной катушки знаков после запятой, которая так пленяет профанов, то математиков это не тревожит. Они знают, что математика – нечто большее, чем точные вычисления. Это быстрая прикидка и ловкое округление. Интуиция помогает оптимизировать и упрощать. Разумное огрубление – еще одно жизненно важное стратегическое правило чтения математических текстов.

Возьмем формулу S = πR², которую многие школьники слышат так часто, что фраза «площадь круга» вызывает у них рефлекторное желание закричать: «Пи эр квадрат!» Они как агенты глубокого внедрения с промытыми мозгами. Но что значит эта формула? Почему это так?

Ладно, забудьте о числе 3,14159. Раскрепостите сознание. Просто поглядите на геометрические фигуры: r – это радиус круга, длина отрезка; r² – это площадь квадрата (он изображен на чертеже). А теперь вопрос на π долларов: как площадь круга соотносится с площадью этого квадрата?

Очевидно, что площадь круга больше. Но не в четыре раза больше, потому что четыре квадрата покроют не только круг, но и дополнительную часть плоскости. Кроме того, присмотревшись, вы поймете, что площадь круга немного больше, чем площадь трех квадратов.

Это именно то, что утверждает наша формула: площадь круга чуть-чуть больше, чем 3 × r².

Если вы хотите установить точное значение числа π (почему 3,14, а не 3,19?), вам придется прибегнуть к доказательству. (Есть несколько великолепных наглядных доказательств, мое любимое заключается в том, чтобы снимать с круга слой за слоем, как будто кожицу с луковицы, и в итоге получить многоугольник^[20].) Но математики, что бы они ни доказывали, не всегда исходят из первичных принципов. Как и представители других профессий, от плотников до смотрителей зоопарка, они с радостью используют какой-нибудь инструмент, даже не зная в точности, каким образом он сконструирован, до тех пор, пока у них есть ощущение, что он работает.

«Постройте график исходя из уравнения» – знакомое домашнее задание. Я и сам его задавал. Кроме того, это зародыш порочного мифа: якобы графики являются самоцелью. На самом деле их построение не похоже на решение уравнений или выполнение операций. График – это не конечный пункт, а всегда не более чем средство.

График – это способ визуализировать данные, картинка, которая рассказывает историю. Он представляет собой еще одну могущественную стратегию чтения математических текстов: превратить статику в динамику.

Возьмем уравнение, приведенное выше: y = 1/x². Здесь x и y – пара взаимосвязанных чисел. Вот несколько примеров:

Уже просматривается несколько закономерностей. Но чем лучше наши технические приемы, тем больше мы видим, и таблицы – не модный инструмент. Из бесконечных пар x – y, которые подходят нашему уравнению, таблица, как бегущая строка биржевых индексов, может показать всего лишь несколько. Нам нужен инструмент визуализации получше: математический аналог телевизионного экрана.

На сцене появляется график.

Рассматривая x и y как своего рода широту и долготу, мы преобразуем каждую неосязаемую пару чисел в нечто геометрическое – точку. Бесконечное множество точек становится непрерывной кривой линией. И тогда возникает история, рассказ о движении и изменении.

● Когда x уменьшается, стремясь к нулю (¹/₅,¹/₆₀,¹/₁₀₀₀…), y раздувается до немыслимых величин (25, 3600, 1 000 000…).

● Если x увеличивается (20, 40, 500…), y скукоживается до микроскопических чисел (¹/₄₀₀,¹/_{16 000},¹/_{250 000}…).

● Когда x принимает отрицательные значения (–2, –5, –10), y остается положительным. Он никогда не спускается ниже нуля.

● Ни одна из величин не может быть равна нулю.

Окей, возможно, это не самая сочная сюжетная линия, но такие умственные упражнения показывают разницу между математиком-новичком (он видит парализующий поток бессмысленных символов) и опытным математиком (он видит нечто слаженное и дружелюбное). Графики наполняют безжизненные уравнения ощущением движения.

Есть психологический феномен, известный под неприятным названием чанкинг. Это не просто способ очистить организм после чрезмерного количества пива^[21], но и мощная ментальная техника, необходимая математикам. Очередная стратегия чтения математических текстов.

Чанкинг означает, что мы интерпретируем набор разрозненных, ускользающих деталей как единое целое. Приведенное выше уравнение – хороший пример. Умелый чанкер игнорирует мелочи слева. Там x или y, 5 или 6, плюс или минус? Не знаю, без разницы. Вместо этого вы видите просто два множителя, формирующих скелет уравнения: чанк умножить на чанк равно нулю.

Если вы знакомы с таблицей умножения, вы знаете, что ноль – это своеобразный результат.

6 × 5? Не ноль.

18 × 307? Не ноль.

19,91632 × 4 600 000 000 000? Нет смысла открывать калькулятор на вашем смартфоне: это тоже не ноль.

Ноль – единственное в своем роде число в мире умножения. В отличие от числа, скажем, 6, которое можно разложить на множители различными способами (3 × 2, 1,5 × 4, 1200 × 0,005…), ноль – особая, своенравная величина. На самом деле есть всего один способ получить ноль, перемножая два числа: если одно из них само по себе равно нулю.

Здесь окупается наша стратегия дробления: один из множителей равен нулю. Таким образом, x равен либо 5, либо 7.

Уравнение решено.

Чанкинг прочищает не только наши желудки, но и наши умы. Он делает мир удобоваримым. Чем больше вы узнаете, тем агрессивнее вы чанкаете. Старшеклассник может прочанкать целую строку алгебраических символов и понять, что это формула площади трапеции. Старшекурсник может прочанкать несколько дремучих строчек вычислений и увидеть, что это формула объема твердого тела вращения. Аспирант прочанкает полстраницы грозных греческих букв и сделает вывод, что речь идет о вычислении хаусдорфовой размерности множества. Чем выше ваш уровень, тем больше вы узнаете. Что такое трапеции? Как ведут себя интегралы? Что курил Хаусдорф^[22] и где бы нам такое раздобыть?

Но мы не изучаем детали ради деталей. Мы узнаем детали, чтобы позже их проигнорировать и сосредоточиться на более общей картине.

Поменяйте местами два символа. Что произойдет?

Ну, с точки зрения новичка, ничего. Вы поменяли две закорючки, две буквы тарабарского языка. Какая разница? Но, с точки зрения математика, это все равно что поменять местами море и небо, горы и облака, птицу и рыбу (к величайшему ужасу обеих). Поменять местами два символа означает поменять все на свете.

Например, возьмем два выражения и представим, что х равен 10.

А 10² – большое число. Это 10 × 10, то есть 100 – приемлемое количество школьников, которым я смогу преподавать в этом году, или расстояние (в милях) до парка с аттракционами, или стоимость (в долларах) для оплаты телевидения. (Но сомнительно, что вы сможете приютить такое количество далматинов.)

Но 2¹⁰ гораздо больше. 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 1024. Стольких школьников можно выучить за десять лет, столько ехать до самого грандиозного парка с аттракционами на свете, столько долларов можно заплатить за самое навороченное телевидение. (Но чрезвычайно сомнительно, что вы сможете приютить такое количество далматинов; вот почему приняты законы о насилии над животными.)

Чем больше мы увеличиваем x, тем больше разрыв между значениями двух функций. На самом деле слово «больше» слишком скромное, это как назвать Большой каньон «трещинкой». Когда х возрастает, разрыв между х² и 2^x приобретает катастрофический характер.

100² – довольно много. 100 × 100 = 10 000.

Но 2¹⁰⁰ – это невообразимо много.

2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 1 267 650 600 228 229 401 496 703 205 376, примерно миллиард миллиардов триллионов.

Допустим, мы ведем измерения в фунтах. 10 000 фунтов^[23] – это масса грузовика, груженного кирпичами. По правде говоря, это тяжело, но второе число принадлежит к другому классу величин.

Такова масса сотни тысяч планет Земля.

Функции х² и 2^x не слишком отличаются друг от друга для нетренированного глаза. Но, чем дольше вы изучаете математику и чем более бегло вы говорите на этом языке закорючек, тем более драматичной становится разница. Вскоре она становится нутряной, тактильной; она начинает задевать ваши чувства, и это последний жизненно важный пункт нашей стратегии. Мы должны читать строки математического текста, испытывая весь спектр эмоций – от радости и приязни до страха и трепета.

Рано или поздно неумение отличить функции х² и 2^x становится таким же абсурдным, как образ грузовика, который тащит за собой сто тысяч планет.