Иррациональность и трансцендентность
Для простейшего счета все числа равноценны. Подступая к божественному знанию, мы видим, что среди них есть особенные, имеющие собственные «задачи». Но в иных измерениях натуральный ряд цифр – сложен, а фундаментальные иррациональности просты и составляют целый класс прозрачных истин.
Шпенглер полагал, что в архитектуре древних греков и готических соборов явлена евклидова геометрия. Но это ошибка. Греки как раз заложили основу поправок к геометрии с учетом зрительных искажений. Они не строили фундаменты храмов по линейке, поскольку тогда взгляд со стороны делал бы их искривленными. Парфенон вобрал в себя множество подобных архитектурных уловок. Простейшая геометрия для архитектора – только самый примитивный уровень его искусства, в котором есть закономерности не только внешних форм, но и внутреннего содержания, позволяющего возводить сооружения, существующие веками.
Пифагор, – пишет Шпенглер, – изрек решающую формулу: число было для него межевым знаком ставшего. А вот Евклид, завершивший в стереометрии античную математику в 3 в. до н. э., «говоря о треугольнике, с глубочайшей необходимостью имеет в виду ограниченную поверхность тела, но никогда – систему трех пересекающихся линий или группу трех точек в трехмерном пространстве. Он характеризует линию как „длину без ширины“. В наших устах эта дефиниция была бы жалкой. В пределах античной математики она превосходна». Но что же здесь жалкого? Длина без ширины – самое короткое определение, самый компактный алгоритм для понимания. Никакого даже сравнительно компактного определения для понятия «кривая» современная математика не знает. Она занимается классами кривых, каждый раз измышляя свое – весьма нетривиальное – определение.
Шпенглер в противовес мнению Канта считал, что «западное» число «изошло не из времени, как априорной формы созерцания, но в качестве порядка однородных единиц является чем-то специфически пространственным». «Античное число не есть мышление о пространственных отношениях, но о размежеванных для телесного глаза и осязаемых единицах. Поэтому античность – это следует необходимым образом – знает только „естественные“ (положительные, целые) числа, которые среди многих в высшей степени абстрактных родов чисел западной математики, комплексных, гиперкомплексных, неархимедовских и прочих систем играют ничем не примечательную роль».
Получается, что представление об иррациональных числах и всяческих «не совсем числах» было недосягаемо для греческого ума. Евклид говорил, что несоизмеримые отрезки ведут себя «не как числа». Простой счет и простое измерение отрезков не входят в понимание сущности числа и зыбкости самого измерения, как только оно выходит в плоскость и разграничивает и размечает пространство.
Мы оспорим этот тезис. Действительно, иррациональные числа – это «не числа». Ими невозможно оперировать в общепринятой записи. Они могут записываться как два числа и связывающий их оператор, как число и оператор, порождающий последовательность чисел, в пределе приближающихся к иррациональному «числу». Поскольку исчисление иррациональности имеет смысл только до какого-то разумного предела, то упрекать греков в том, что они этого не делали – нелепо. Операциональное представление иррациональности также гораздо удобнее, если иррациональности при вычислениях «съедают» друг друга.
Трансцендентные числа не получили разрешения, подобно тому, как гипотенуза обнаружила свою сущность через дополнительное измерение в теореме Пифагора. Число «пи» не вписывается в геометрию: циркуль и линейка оказываются принципиально разными инструментами, применимыми для разных измерений, не сводимых одно к другому. Трансцендентные числа, не имеют основы в алгебраических уравнениях. Они следуют правилу: «Кривое не может сделаться прямым» (Экклесиаст). Экспонента – аналогичная «неправильность», заменяющая всюду возникающий из какого-то иного мира бесконечный ряд, сумма которого не получает счетного значения. И подобными «иномерными» объектами полны физико-математические теории. В каких-то иных измерениях они должны быть «единицами», реперами, от которых идет простейший счет.
Необычные постоянные возникают в математике совершенно неожиданно, и представляют собой скрытую конструкцию Вселенной, которая пока не дана нам в ощущении – есть только намек в математической модели. Одна из таких моделей связана с популярным, и широко вошедшим в гуманитарные науки в конце XX века термином «бифуркации».
Одна из простейших динамических систем, где происходит каскад бифуркаций – это отображение xn+1 = r xn (1 – xn), которое может моделировать множество процессов (численность популяции животных, фибрилляцию сердца и так далее). В зависимости от значения параметра r может произойти бифуркация, при которой предельный цикл (достаточно большие n) удваивает свой период. При достаточно больших n значения r(n) по геометрической прогрессии сходятся к фиксированному значению а∞, причем показатель прогрессии оказывается общим для широкого класса функций (функции с одним максимумом) xn+1 = f(xn). Этот показатель называется первой константой Фейгенбаума и равен 4,669… почти точно 4,67. Вторая константа Фейгенбаума определяет соотношение ширины ветвей на диаграмме – 2,50… почти точно 2,5. Являются ли эти числа трансцендентными, пока неизвестно.
Трудно оторваться от загадочной картинки, которая возникает из столь простой последовательности. Образ бифуркации в данном случае демонстрирует переход от числа к имени (термину) – своего рода математическому чуду, заимствованному в других областях знания. Эта картинка также иллюстрирует переход порядка в хаос, который может быть обращен вспять: из хаоса может родиться порядок. Из математических моделей сложных колебаний возникает целый терминологический пласт, который позволяет описывать органические процессы в самых разных областях знания. Например, мы можем утверждать, что в «темных веках» точки бифуркации уже все пройдены, и мы находимся в стадии, когда хаотические компоненты бытия решающим образом преобладают над упорядоченными. Хаотизированное сознание не может видеть будущего. Но для информированного оптимиста понятно, что хаос сменится порядком, и знаки будущего при желании можно отыскать уже сейчас.
На практике трансцендентными числами можно пользоваться, считая их исчислимыми, но только до необходимого предела точности. Потому что в природе не существует ни идеальной прямой, ни идеальной окружности. Пока компьютер считает медленно, с трансцендентными числами удобно оперировать только как с символами. Но как только скорость счета оказывается достаточной, проще сразу производить «пиксельный» подсчет, пропуская символическую запись.
Особый тип трансцендентности – «то, чего не может быть» – также был приобщен к математическим методам. Комплексные числа, применение которых толком не обосновано, оказались очень удобным инструментом для решения множества математических задач. Комплексное число представлено двумя значениями – своими действительной и мнимой частью. То есть, точкой на плоскости. Простейшие рекуррентные последовательности порождают на этой плоскости удивительные фигуры, которые превращают теорию комплексных чисел из технической уловки в целый мир образов.
Наиболее популярная последовательность zn+1 = zn2 + C, z0= 0 формирует на комплексной плоскости множество Мандельброта с удивительными свойствами самоподобия. Последнее трудно приять рассудком, который должен смириться с тем, что бесконечно тонкой линией можно заполнить полосу на плоскости [4]. (Что, для «пиксельного» подхода не составляет проблемы – там линия всегда имеет толщину).
Определенные правила раскраски множества позволяют создавать фантастические картины, поиск которых стал распространенным для математиков увлечением. Но это мир не только картинок, но и целое направление в математике со своими теоремами.
Если кому-то захочется посетить иные миры и запечатлеть их в зримых образах, то для этого не требуется космолета и многих лет путешествия в пространстве – достаточно заглянуть в множество Мандельброта. Трудно придумать что-то более наглядное для демонстрации вихрей становления. Видимо, несложно внести в формулу параметр времени, чтобы самоподобные вихри пришли в движение.
Может ли современный человек оценить самоподобные миры? Нет, для него это только курьез, привлекающий внимание своей наглядностью. Что-то вроде компьютерной графики – усложненной версии анимированных картинок – мультипликации. Между тем, именно в мире математики наглядно отражено то, что должно быть в мировоззрении культурного человека: иррациональное и трансцендентное. Самоподобию же еще предстоит обосновать философский концепт.
За пределами чисел
Широко известно высказывание выдающегося математика Леопольда Кронекера: «Бог создал целые числа, а все остальное это работа человека». Нецелые числа – это, в хорошем случае – число + оператор. Или два числа + оператор (например, операция деления двух целых чисел). Если мир дискретен, то, возможно, Бог создал только «0» и «1». А человеку дал сознание, чтобы он сначала сам поработал несколько тысячелетий калькулятором, а потом придумал компьютер. Который всегда точен: что считать и как считать ему задает человек. Если же человек не имеет точных данных и задает какую-то погрешность, то компьютер точно ее учитывает. Или указывает на неустойчивые решения, в которых с течением времени погрешность нарастает. Наконец, весьма «точно» расчет может запутать траекторию или фазовую диаграмму – до того, что приходится применять понятие «странного аттрактора».
Можно считать, что числовой счет всегда точен, а вот измерение всегда неточно. В измерении всегда есть погрешность. В том числе, мы не можем утверждать, что сумма углов треугольника точно равна 180 градусам. Поэтому и не можем сказать, евклидово ли наше пространство. Может быть, «немножко» неевклидово, но только здесь – где мы измеряем. А в другой части галактики это «немножко» окажется существенным. Или для микромира «немножко» создает большие неожиданности для исследователя. Ведь «много» или «мало» – это лишь наша оценка. То, что в одних ситуациях «мало», может быть «много» в других. Малое через время может стать большим или даже бесконечно большим.
Измеримость и счет возможны там, где есть пространство и есть время. То есть, вещные бытие и процесс. В пустом пространстве нет ни того, ни другого. Объект размером во Вселенную для нас непостижим в понятиях пространства и времени. Мы бытийствуем в нем, а не он в нас. Мы для него – пространство и время. Можно представить себе точку в пространстве, посещение которой изменит всю Вселенную – «место Бога» или «место Судьбы». Почему бы и нет?
Фундаментальный вопрос: за всяким ли понятием (например, в математике) стоит нечто исчисляемое? Всё ли можно исчислить? Понятно, что есть всякие явления, которые никак не превратить в какие-то алгоритмы вычисления. Есть невыразимое – то, что индивидуально, что я не могу передать другому. Могу попытаться, но получится скверно. Или единичное. Его считать бессмысленно. И даже невозможно снабдить понятием. Также и сложное: бывает, что символизация в числах и алгоритмах не проще объекта описания. Тогда его проще предъявить, чем описывать. Вселенную не обсчитать и не объяснить, ее можно только разглядывать.
Путь науки: от понятий к числам, от чисел – только к целым и далее к простым числам, затем только «0» и «1». И снова к тому, что неисчислимо. Это определенный цикл, который в завершении может означать переход на новый уровень понимания, а может указывать на деградацию.
При всей значимости числа как отражения глубинной структуры мира-природы, в нем существует то, что не описывается числом. Даже если включить несчетные континуальные объекта, заменив их пиксельными образами. Многое невозможно выразить не только в цифрах, но и в словах. Редкие явления могут быть зафиксированы в виде фактов, но некоторые из них не могут быть объяснены словами – сложные объекты требуют передачи образа, а не словесного очерка. Образный мир, стоящий за словами, куда шире, чем то, что может быть выражено этими словами. Поэтому до всякого познания существует восприятие реальности. До времени оно может быть запечатлено, но не распознано.
Всякому математическому рационализму утирает нос теорема Геделя, объявившая о неполноте любой теории, включающей в себя арифметику натуральных чисел. В ней всегда найдутся утверждения, которые нельзя ни подтвердить, ни опровергнуть.
Число гипнотизирует кого угодно, только не современного математика, который знает качественный анализ и оперирует с объектами, далекими от чисел. В них царят совершенно не переводимые на язык чисел «геометрии», а топология не знает «расстояний». Но именно отсюда понятийный аппарат перетекает в естественные и даже общественные науки – в особенности это касается теории катастроф.
Фрактальность знания отражает его более глубокое понимание. Все напоминает все, но отличается собственным гештальтом сообразно масштабам и координатам. Мы как будто идем по фрактальной поверхности, которая в каждом своем фрагменте содержит уменьшенную копию более крупного фрагмента, а тот маленький фрагмент – тоже копия, и так далее. Но пристальнее рассматривая уменьшенный фрагмент, мы видим, что он – нечто совсем иное – иной мир, и повторяет больший масштаб лишь «вчерне».
Древние математики считали, что их наука проникает в сущность вещей. Но эта сущность была абстрактной, к ней испытывали интерес те, кто имел возможность быть философом. Отвлеченность философии и отвлеченность геометрии от обычной жизни предопределяли статус философа наравне со жрецом. Его жизнь и интересы – не от мира сего. Не мера жизни «теперь и здесь», а иная жизнь – «не здесь и не теперь». Лишь немногим более столетия наших времен мы живем в мире, на который обрушилась математика – прежде всего, своим магическим числом, заклятым компьютерными технологиями.
Апейрон Анаксимандра – неустойчивое состояние вещества, к которому по этой причине неприложимо число. Размытость форм облака или неизмеримость прибрежной полосы – вполне внятные образы для современной науки, которая в этом случае находит для числа другое – неарифметическое, неевклидово применение.
Получив достаточно глубокие для своего времени знания в области математики, Шпенглер в дальнейшем стал энциклопедистом-историком и культурологом, и построенные им философские концепции лишь в незначительной мере учитывали существование математики. Преподавание математики в гимназии, которым философ немало лет зарабатывал себе на жизнь, не способствовало углублению в математические доктрины. По этой причине Шпенглер предпочел считать математические формализмы образцом статики – ставшим, а не становящимся. Между тем, математика, видимо, единственная наука, которая способна символизировать становление – обозначать «то, чего не может быть». В том числе – немыслимые для обыденного сознания геометрии, размерности, несуществующие множества, мнимые величины, неустойчивые решения и так далее.
Шпенглер слишком низко ставил математику, досаждавшую ему обязанностью постоянно отвлекаться от своих размышлений: «Математика, безотносительно к тому, пользуется ли она в качестве пособий наглядными образами и представлениями или нет, занята совершенно абстрагированными от жизни, времени и судьбы, чисто рассудочными системами, мирами форм чистых чисел, правильность – не фактичность – которых носит безвременный характер и подчинена каузальной логике, подобно всему только познанному и непережитому».
Этот тезис нельзя принять, если понимать, что математика сама находится в состоянии постоянного становления, а те пределы, за которые она заходит, отдаляясь от фактичности, позволяют обходиться без понятия числа, создавать миры бесчисленных логик, которые в привычной нам казуальности вообще не могут быть осмыслены. Математика – это средство пережить рассудком то, что никогда не будет пережито нашими чувствами. При этом в каждой математической фантазии скрыт прикладной аспект, исключенный из практики по социальным причинам: за математиком почти никогда не следует рой инженеров и лаборантов естественнонаучных дисциплин.
Математика кажется лишенной прямого созерцания лишь в силу близорукости взгляда на тот светомир, который может открыться человеку лишь постепенно – по мере развития науки и приборостроения. Измерить что-либо – значит увидеть и сравнить с эталоном. Математика дает увидеть то, что не видит или даже никогда не увидит глаз.
В математике ученый сам становится создателем «материи» – предмета для исследования – делая ее неизменной, подчиняющейся определенной аксиоматике. В физике тоже материя по большей части не меняет свойств, если дело не идет о сильно неравновесных системах, где происходит быстрый обмен информацией и веществом с окружающей средой. В биологии «активность» материи вообще творит чудеса. Из яичной слизи почему-то появляется цыпленок с мозгами, кровеносной системой и т. п. В социальных науках материя принципиально «активна», то есть предмет исследования меняется по мере того, как ты пытаешься устанавливать закономерности. Поэтому, чтобы что-то тут понять, субъект и объект должны в значительной степени срастись. От этого может получиться нечто «ненаучное» – с точки зрения стабильной «материи».
О проекте
О подписке