В начале девятнадцатого века математики стали исследовать геометрии, отличные от евклидовой; эти альтернативные геометрии приводили к результатам, казавшимся полностью абсурдными, но при этом не содержали в себе логических противоречий. Позднее было доказано, что неевклидовы геометрии вполне последовательно соотносятся с евклидовой: они логически замкнуты постольку, поскольку таковой является евклидова геометрия.
Однако тот факт, что евклидова геометрия логически замкнута, так и не был доказан. Максимум, чего удалось достичь к концу девятнадцатого века, – это доказать, что евклидова геометрия логически замкнута постольку, поскольку логически замкнута арифметика.