recently (передает более короткий промежуток времени – на днях):
I haven’t seen Tom recently. – В последнее время я /что-то/ не видела Тома (за последние несколько дней).
lately (передает более длительный промежуток времени – несколько недель/месяцев):
His health has not been good lately. – Он неважно себя чувствует: «его здоровье было не очень хорошим» в последнее время.