Возьмем некое значение x, которое может быть любым числом от 0 до 1 включительно. Затем умножим x на (1 – x) и на постоянную k, которая может быть любым числом от 1 до 4 включительно. Полученное значение x снова подставим в эту же формулу, и так снова и снова. На математическом языке можно записать то, что мы делаем, в виде x → kx(1 – x) для 0 ≤ x ≤ 1 и 1 ≤ k ≤ 4. Выполняя эти действия, мы обнаружим, что для значений k, меньших или равных 3, существует аттрактор, состоящий из одной точки, к которому стремятся все значения x (кроме 0 и 1). Для значений k от 3 до 3,45 аттрактор состоит из двух чередующихся точек. При значении k в диапазоне от 3,45 до 3,54 аттрактор состоит из четырех точек, потом их становится восемь и так далее, причем количество точек удваивается все чаще и чаще. При значении k, равном приблизительно 3,57, происходит существенное изменение, после которого удвоение уже не учащается, а происходит бесконечное количество раз. На этом этапе система уже не может стабилизироваться и становится абсолютно хаотичной. Хаос возникает в момент, когда предсказуемая система становится полностью непредсказуемой. Например, в нашем случае при значении k, меньшем 3, легко предсказать, что после, скажем, ста итераций точка окажется очень близко к единственному аттрактору. При значениях k, превышающих 3,57, уже невозможно предсказать, как поведет себя в отдаленном будущем та или иная точка.
Процессом удвоения точек аттрактора (от одной к двум, от двух к четырем и так далее), который мы наблюдали, когда значение k в нашем примере превысило 3, управляет важная математическая постоянная, называемая константой Фейгенбаума. Увидеть, как эта важная константа возникает, можно на этапах, предшествующих хаосу. Первая фаза, с циклом в одну точку, имеет длину 2, поскольку длится от k = 1 до k = 3. Вторая фаза, с циклом в две точки, имеет длину приблизительно 0,45, так как длится от k = 3 до k = 3,45. Отношение 2:0,45 равно примерно 4,45. Третья фаза имеет длительность около 0,095. Отношение 0,45: 0,095 приблизительно равно 4,74. И так далее. Эти отношения стремятся к константе Фейгенбаума, которая приблизительно равна 4,669. Длительность фаз сокращается экспоненциально, так что к моменту, когда k достигает 3,57, цикл повторяется бесконечное количество раз.