Немного об авторе

Меня зовут Дарьяна. Репетиторством по математике занимаюсь довольно давно, с 2011 года. Математика всегда меня привлекала, как предмет, в своём деле я помогаю детям\ученикам долгое время, и всегда есть хороший результат. Каждый ребенок, если у него есть желание понять материал – может научиться решать различные задания по математике, каждый может освоить этот предмет, в нём нет ничего сложного, если разобраться в любой теме. Результаты моей работы впечатляют, спокойно нахожу общий язык с учеником и индивидуально подхожу к любому из них. Даже, казалось бы, самые безнадёжные чувствуют себя увереннее на уроках по математике после занятий со мной.

Этот гайд я написала специально для того, чтобы поделиться своими знаниями, чтобы Вы, дорогой читатель, смогли разобраться в этой теме, понять материал и научились сами применять на практике полученные знания.

Вы можете связаться со мной, записаться на консультацию или занятие онлайн, задать интересующие вопросы и сможете лучше разобраться в предмете с моей помощью. Можете написать мне на почту: frangolc@yandex.ru.

Начнём изучение темы «Степени и её свойства» – со свойств степеней.

Чтобы понять, как правильно решать выражения с возведением в степень и с действиями с ней, достаточно знать основные свойства степени.

1. Любое число в нулевой степени равно единице.

2. Любое число в первой степени – равно числу.

3. Если есть одинаковое основание, то показатели степени при умножении – складываются.

4. Если есть одинаковое основание, то показатели степени при делении – вычитаются.

5. Если основание в степени и ещё в степени, то показатели степени в таком положении перемножаются.

6. Если же одно основание отличается от другого основания, но у них одинаковая степень, то степень можно вынести за скобку, а основания перемножить.

7. Когда основание в степени и ещё под корнем, то показатель степени делится на степень корня (т.е., если корень квадратный, то делим на 2, если корень кубический, то делим на 3 и т.д.).

8. Если основание находится в отрицательной степени, то основание следует записать в знаменателе, а показатель степени становится положительным.

9. Если же дробь находится в отрицательной степени, то числитель и знаменатель меняются местами и показатель степени становится положительным.

А теперь разберёмся в применении степеней на практике. Подборка заданий 1.

Пояснение: А) Основание одинаковое, соответственно можно сделать действия со степенями, между «а» умножение, значит степени складываются.

Б) Основание одинаковое, между ними деления, значит, применив 4 свойство степени можно вычесть степени.

В) При таком положении показатели степени перемножаются.

Г) Если произведение возведено в общую степень, значит, нужно каждое число в произведении возвести в степень. То есть число четыре возводим в третью степень, это получится 64, и буква t в третьей степени.

Д) В подобной дроби делаются аналогичные действия, что было под буквой Г – возводится каждое число в степень. 2⁴ = 16, и буква d в четвёртой степени.

Е) При таком положении оснований и степеней – степени вычитаются, получается отрицательная степень, соответственно основание спускается в знаменатель, и степень становится положительной.

Перейдём к разбору решений более усложнённых примеров. Подборка заданий 2.

Пояснение: А) Сначала определимся со знаком. При умножении (-) * (-) = (+). Поэтому знак будет плюс. 5 и 25 можно сократить на 5, вверху 1, внизу осталось 5. И можно сделать действия с одинаковыми основаниями, при умножении степени складываются. Получается одна пятая, которую в дальнейшем можно представить в виде десятичной дроби.

Б) Определив знак (-) * (+) = (-), можно после знака равно ставить знак минус. 2,5 умножаем на 2, получаем 5 целых. И складываем показатели степени одинаковых оснований.¹

В) Определяем знак: (-) * (+) = (-), поэтому после знака равно ставим знак минус. Числа не сокращаются, поэтому можно оставить дробью. Так как есть черта дроби, то показатели степени с одинаковыми основаниями вычитаются. Если поделить 16 на 7 в столбик, то можно выяснить, что число нацело не делится, поэтому можно выделить целую часть. Если 16 разделить на 7, то можно взять по 2 целых (2*7=14). Если из 16 вычесть 14, то получится 2, соответственно получается данный ответ на рисунке.

Г) Так как здесь подобное положение скобок, то можно целую часть с дробью перевести в неправильную дробь, и после возвести в квадрат. Разберёмся со знаком, если дробь умножить на себя два раза, то получится знак плюс.² Дробь возводим в степень, соответственно числитель и знаменатель нужно возвести в квадрат степени. Так получилась последующая дробь, после чего можно выразить целую часть. Что касаемо икса и игрека, то при подобном положении скобок нужно перемножить степени.

В подобном задании нужно привести к общему основанию, чтобы сделать действия со степенями, здесь немного усложняется тем, что вместо букв даны числа. Подборка заданий 3.

Пояснение:

А) Сначала разложим число 25 на множители 5*5 = 5², и ещё в пятой степени. Далее видим число 125, чтобы выяснить какое число и в какой степени даёт его, то можно заглянуть в таблицу степеней. На этой таблице я пометила – какое число и в какой степени даёт 125. То есть это будет 5³.

Далее разбираем всё по свойству степени, при положении скобок – степени перемножаются, при умножении оснований – степени складываются. В конце, при делении – степени вычитаются.

Б) В этом примере следует разложить число 24 на множители (3*8), так как число 24 изначально в пятой степени, то и после раскрытия скобок получится, что каждое число будет в пятой степени. Число 8 можно привести к общему основанию, воспользовавшись таблицей степеней. Получается, что число 8 раскладывается, как 2³, а так как у нас степень ещё есть, то получится таким образом: (2³) ⁵. В таком положении степени перемножаются. И теперь можно сделать действия со степенями с одинаковыми основаниями.

Подборка заданий 4.

Пояснение: В этом уравнении таким же образом в числители степени складываются, а затем вычитаются. Поэтому получается, что х=6.

Пояснение:

А) При таком положении скобок в числители степени перемножаем, число 36 представляем в виде числа в степени (6²), а затем в числители степени складываем, а далее вычитаем. Получается ответ 6 в первой степени.

Б) Здесь аналогично, как и в примере под буквой А. В числителе степени перемножаем, в знаменателе число 25 представляем в виде одинакового основания со степенью (5²), в знаменателе степени складываем, а после – вычитаем. Получается, что в числителе будет отрицательная степень, поэтому число 5 идёт в знаменатель и степень становится положительной. Далее из дроби можно получить десятичную дробь, и она станет окончательным ответом.

Подборка заданий 5.

Пояснение:

В) Сначала определимся со знаком, когда степень четная, то знак будет +, если нечетная, то (-). В данном случае степень четная, соответственно знак будет + при возведении в степень. (-10)² = 100. Далее 100 * 0,9, здесь не обязательно перемножать в столбик, достаточно посчитать сколько нулей у ста, а после запятую у числа 0,9 – перенести вправо на количество знаков, в данном случае – на два знака вперёд переносим запятую, получается 90. Далее вспоминаем как делать действия, если числа противоположные по знакам. 90-120, находим большее число и из большего вычитаем меньшее, ставя знак тот, который у большего числа. То есть 90 – 120 = (-30). У 120 знак минус, из него вычитаем 90 – получаем число 30 и знак ставим тот, который у числа 120.